Замена переменной.

Пусть - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, определенная на некотором отрезке , причем , , и при любом . Тогда

Интегрирование по частям..

Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение определяет прямую линию.

Найдем пересечения графиков функций и сделаем рисунок. Для этого решим систему

Û

откуда , что дает и .

3

 

0

 

 

Из рисунка видно, что фигура состоит из двух частей. При получаем сегмент параболы . При криволинейная трапеция заключена между прямой и параболой . Следовательно, площадь фигуры равна сумме двух следующих двух интегралов:

Для первого интеграла получаем:

Для второго интеграла получаем:

Таким образом, . Ответ: .

 

Задача 3.6.б. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, , .

Решение. На отрезке выполняется неравенство . Поэтому найдем площадь, используя формулу .

=.