Задание 11. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса – 2 ч.
Цель: формирование умения вычислять вероятности сложных событий с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
&11.1.Выучите формулу полной вероятности и формулу Байеса. Разберите, в каких ситуациях применяют данные формулы.
?11.2. Театрал может приобрести билет на спектакль в одной из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, вторую и третью – по 0,3. Вероятность того, что к приходу театрала билеты будут распроданы, равна 0,5 для первой, 0,3 для второй и 0,2 для первой кассы. Какова вероятность театралу купить билет на спектакль?
?11.3. Легковых автомобилей у заправочной станции проезжает вчетверо больше, чем грузовых. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой – 0,15. Какова вероятность того, что приближающаяся машина заедет на заправку?
?11.4. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя маршрутами. Водитель, незнакомый с трассой, выбирает дорогу наугад. Состояние дорог разное. Если водитель поедет по первому маршруту, то вероятность попасть в пункт В за сутки равна 0,6, по второму – 0,5, по третьему – 0,3. Водитель приехал в пункт В в течение суток. Какова вероятность того, что он ехал по первому маршруту? Второму? Третьему?
?11.5. Маша испекла на День Учителя 10 пирожков, из них 8 с яблоками. Алёна испекла 12 пирожков, из них 8 с яблоками, а Света - 28 пирожков, из них 14 с яблоками. Девочки выложили все пирожки на большое блюдо. Наталье Владимировне было предоставлено почётное право первой выбрать себе пирожок. Ей достался пирожок с яблоками. Какова вероятность того, что этот пирожок испекла Света?
¶11.6. В корзине лежат пять белых и четыре черных шара. Вынимают три шара. Какова вероятность того, что третий вытащенный шар будет белым?
¶11.7. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором – 0,5, на третьем – 0,25. Известно, что рыбак забрасывал удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбку. Какова вероятность того, что он ходил на первое излюбленное место?
Методические указания по выполнению работы:
При решении вероятностных задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса:
1. Выделите испытание.
2. Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
3. Определите, при осуществлении каких гипотез Н1, Н2, …, Нn может наступить событие А. Найдите вероятность осуществления каждой из гипотез: Р(Н1), Р(Н2)… Р(Нп).
4. Найдите условные вероятности события А при выполнении гипотез Н1, Н2, …, Нn: P(A/H1), P(A/H2)… P(A/Hп).
5. Если необходимо найти вероятность события А, то примените формулу полной вероятности. Если событие А произошло, и нужно найти вероятность того, что была выполнена какая-либо из гипотез, используйте формулу Байеса.
При решении задач необходимо знание следующих формул:
Пусть А – событие, которое может наступить только при появлении одной из гипотез Н1, Н2, …, Нn, где n гипотез образуют полную систему событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+…+ Р(Нn)Р(А/Нn),
где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Hi (i = 1, 2, …, n).
Вероятностный граф в этом случае имеет вид:
Вероятность каждой гипотезы находится по
формуле Байеса:
.
Пример 11.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?
Решение. 1. Испытание – выбор одного болта среди болтов, производимых тремя машинами.
2. Пусть событие А - выбрать дефектный болт.
3. Мы не знаем точно, какая машина произвела дефектный болт. Выдвигаем три гипотезы:
Н1 - болт изготовлен первой машиной, Р(Н1)=0,25 (т.к. первая машина производит 25% продукции);
Н2 - болт изготовлен второй машиной, Р(Н2)=0,35;
Н3 - болт изготовлен третьей машиной, Р(Н3)=0,4.
4. В задаче необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Запишем вероятности брака для каждой машины.
Р(А/Н1)=0,05 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на первой машине);
Р(А/Н2)=0,04 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на второй машине);
Р(А/Н3)=0,02 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на третьей машине).
Проиллюстрируем решение задачи на графе:
5 а) Вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3).
Р(А) = 0,25ּ0,05 + 0,35ּ0,04 + 0,4ּ0,02 = 0,0345.
б) Событие А уже произошло, т.е. дефектный болт уже извлечен. Нужно найти вероятность осуществления трех возможных гипотез: что он был произведен первой (Н1/А), второй (Н2/А), третьей (Н3/А) машиной. В этом случае применяем формулу Байеса: .
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.8-1.9, с. 55-62.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.17 -1.18, с. 44-46.