По дисциплине Теория вероятностей

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ярославской области

Ярославский градостроительный колледж

 

 

Учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов

подисциплине

«Теория вероятностей

и математическая статистика»

для специальности

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ (ПО ОТРАСЛЯМ)

по программе базовой подготовки

Идентификационный номер

¾

ДСМК-2.4 ИС ЕН.03

 

	Номер экземпляра:
	Место хранения:

 

Ярославль 2013 г.

Рассмотрено и одобрено

на заседании кафедры ОБЩ

Протокол № __ от __________ г.

Руководитель кафедры:

____________ Шереметьева Н.В.

 

 

Составитель:

· преподаватель Шереметьева Н.В.

 

Аннотация

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности 230401 «Информационные системы» (по отраслям).

Работа включает в себя рекомендации по работе с данным учебным пособием, задания для самостоятельной внеаудиторной работы, методические рекомендации по их выполнению с образцами типовых задач, основными правилами и формулами, а также критериями оценки выполнения самостоятельной работы.

Материалы, изложенные в пособии, помогут студентам систематизировать и закрепить полученные на аудиторных занятиях по теории вероятностей и математической статистике теоретические знания, сформировать практические навыки, активизировать учебно-познавательную деятельность.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рекомендации по работе с учебно-методическим пособием. . . . . . . . . . . . . . . .
Рекомендации по выполнению разных видов самостоятельной работы. . . . .
Задания для самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Задание 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 2. Основы теории вероятностей
Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 3. Дискретные случайные величины
Задание 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 4. Непрерывные случайные величины
Задание 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 5. Центральная предельная теорема
Задание 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 6. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения
Задание 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 7.Моделирование случайных величин. Метод статистических испытаний
Задание 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы составлены для студентов специальности 230401 «Информационные системы» (по… Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине «Теория вероятностей и… · систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических навыков;

Не забудьте выписать исходные данные, решение, ответ.

Задания для письменного решения обозначены в пособии символом ?.

Если Вы никак не можете отыскать ключ к решению задачи, внимательно прочтите

методические указания по выполнению работы. В них вы найдете:

· основные правила, формулы, теоремы;

· указания, как решать задачи данного типа;

· разобранные примеры решения ключевых задач.

Если Вас заинтересовала эта тема, Вы хотите испытать себя и решить более сложные задачи, то попробуйте решить задачи, обозначенные символом ¶.

Если Вы хотите узнать о критериях оценки, которые поставит Вам преподаватель за выполненную работу, обратитесь к критериям оценки (стр. 46)

Помните, что работа должна быть выполнена к следующему занятию по дисциплине!

Успехов Вам!!!

Если знания, полученные на занятии, не кажутся Вам исчерпывающими, обратитесь

к списку рекомендуемой литературы (стр. 47).
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Как самостоятельно изучить теоретический материал

Советуем Вам соблюдать следующие правила: Правило 1. Внимательно прочтите материал несколько раз. Это не займет много… При первом прочтении нужно ставить цель - понять, а не запомнить. Обычно для достижения хорошего понимания материала…

Как решать задачи (методика Д. Пойа)

Понимание постановки задачи
Нужно ясно понять задачу	Внимательно прочтите условие задачи. Четко определите для себя, что дано в условии задачи, а что требуется найти. Спросите себя, что означают понятия, о которых идет речь в задаче. И ответьте себе. Если же ответить сразу не удается, то ответ надо поискать, например, в теоретической части курса. Иначе для Вас задача может оказаться неразрешимой.
Составление плана решения
Нужно найти связь между данными и неизвестными. В конечном итоге нужно перейти к плану решения.	Ответьте на вопрос: как взаимосвязаны понятия в задаче? Именно благодаря взаимосвязи понятий задачу удается решить. Чаще всего такие взаимосвязи предстают в виде формул, формулировок теорем, а некоторые из них задаются формулировкой задачи. Знаете ли Вы теорему (теоремы), формулы, которые помогут в решении? Известна ли Вам похожая задача? Нельзя ли использовать метод ее решения? Все ли данные нами были использованы? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
Осуществление плана
Нужно осуществить план решения	Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли вы доказать, что он правильный?
Взгляд назад (изучение полученного решения)
Нужно изучить найденное решение	Нельзя ли проверить найденный результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли увидеть его сразу?

Помните! Вы должны не только решить задачу, но и грамотно оформить ее решение.

Оформление решениязадачи включает в себя:

• запись исходных данных (чаще всего это проводимое испытание);
• что требуется найти по условию задачи (чаще всего необходимо описать событие, вероятность которого просят найти, или случайную величину, закон распределения которой нужно составить);
• собственно решение задачи с указанием используемых формул и теорем;
• запись ответа.

 

Как выполнить домашнюю контрольную работу

2. Прочитайте цель выполнения работы. 3. Внимательно изучите задание (обратите внимание на номер своего варианта).… 4. Ознакомьтесь с пояснениями к решению.

Как создать презентацию

Презентация должна иметь следующую структуру: 1. титульный слайд (тема исследования, авторы, № группы); 2. основная часть:

Как составить кроссворд

При составлении кроссворда удобно соблюдать следующий порядок работы: 1. Вспомните основные понятия теории вероятностей и математической… 2. Придумайте форму кроссворда. Чем она интереснее, тем лучше!

Как подготовить доклад

Доклад имеет следующую структуру: · план; · основную часть;

И математическая статистика

Выполнил: студент группы ___

__________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

 

Ярославль, ____ год

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Введение

Задание 1. Исследование частоты букв русского алфавита – 1 ч.

Цель:формирование представлений о теории вероятностей как науке, выявляющей закономерности в случайных явлениях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 1.1. Разберите, какие разделы математики называют теорией вероятностей и математической статистикой, какова история развития науки и сферы её применения в других областях знаний.

Основные сведения из теории:

1.2. Закончите высказывания:

а) Математическая статистика – раздел математики, изучающий …

б) Теория вероятностей – раздел математики, изучающий …

в) Этапы развития теории вероятностей (ТВ):

· I (середина – конец XVII века) – возникновение ТВ - характеризуется …, связан с именами великих математиков …

· II (XVIII – середина XIX века) – становление ТВ как науки - характеризуется …, связан с именами великих математиков …

· III (середина – конец XIX века) – развитие ТВ в Петербургской математической школе - характеризуется …, связан с именами великих математиков …

· IV (XX - XXI век) –современный период развития теории вероятностей - характеризуется …, связан с именами великих математиков …

г) Теория вероятностей и математическая статистика используется в науках: …

Примеры и упражнения:

81.3. Проведите следующий эксперимент:

· Выберите два текста, содержащие по 1000 символов (включая пробелы).

· Выпишите 4 буквы русского алфавита, которые кажутся Вам наиболее распространёнными, 4 буквы со средней частотой использования, 2 редко используемые буквы (всего 10 букв).

· Составьте программу или посчитайте вручную, сколько раз в каждом тексте встретились выбранные Вами буквы. Внесите данные в таблицу:

Буква	Число символов текста (п)	Первый текст	Второй текст
Сколько раз встретилась буква (т)	Частота использования буквы в тексте	Сколько раз встретилась буква (т)	Частота использования буквы в тексте
«…»		…	…	…	…
«…»		…	…	…	…

· Найдите частоту, с которой встречается каждая буква в тексте по формуле , где – число символов в тексте (п = 1000), т – число, показывающее, сколько раз данная буква встретилась в тексте.

· сделайте выводы о частоте букв русского алфавита (обладает ли она устойчивостью, какие буквы самые, какие менее распространённые в русском языке).

· подготовьте отчёт о проделанной работе, содержащий

o данные о студенте, выполнившем работу (фамилия, имя, номер группы);

o 2 выбранных текста по 1000 символов;

o отчётную таблицу;

o текст используемой программы (при использовании возможностей ПК);

o выводы о проделанной работе;

и пришлите его на электронную почту преподавателя или сдайте на бумажном носителе.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Введение, с. 7-13.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. – Глава 1, §1.1, с. 8-9.

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 2. Основное правило комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания без повторений – 2 ч.

Цель:формирование умения применять основное правило комбинаторики (правило произведения) определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок без повторения заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&2.1.Повторите основное правило комбинаторики. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют. Проанализируйте, чем отличаются размещении, перестановки и сочетания. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

2.2. Закончите высказывания:

а) Комбинаторика – раздел математики, изучающий ….

б) Правило произведения: пусть требуется выполнить … . Если первое действие может быть выполнено … способами, второе - … способами и т.д., то все … действий могут быть выполнены … способами.

в) Пусть из элементов некоторого множества производят выборку объектов. Если элементы в выборке не повторяются, то для решения комбинаторных задач используют ….

г) В размещениях и перестановках порядок внутри выборки …, а в сочетаниях - …

д) Факториал натурального числа – произведение …

е) Число размещений из п элементов по т находят по формуле: …

ж) Число сочетаний из п элементов по т находят по формуле: …

з) Число перестановок из п элементов находят по формуле: …

Примеры и упражнения:

?2.3. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из латинских

а) трех букв, причем эти буквы могут повторяться;

б) четырех букв, которые не повторяются?

?2.4. У людоеда в подвале томятся 20 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них

а) одного на завтрак, одного на обед, одного на ужин?

б) чтобы отпустить на свободу?

?2.5. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками. Сколько всего вариантов передачи возможно?

?2.6. В автомашине 5 мест. Сколькими способами пять человек могут разместиться в машине, если занять место водителя может только один из них?

?2.7. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребёнка, если общее число имён равно 300, а ребёнку дают

а) одно; б) два; в) три; г) не более трёх имён?

?2.8. Восемь студентов группы ИС1-31 решили сыграть в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека?

?2.9. Туристы запланировали посетить 5 храмов г. Ярославля: церковь Ильи Пророка, Успенский собор, церковь Богоявления, Иоанна Предтечи, Никола - рубленый город. Обязательное условие – посещение церкви Ильи Пророка и Успенского собора должны идти сразу друг за другом (возможен вариант – сначала – посещение Успенского собора, потом сразу за ним - церкви Ильи Пророка). Сколько вариантов маршрута существует у туристов?

¶2.10. На вечеринку собралось 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Методические указания по выполнению работы:

Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопрос о существовании и подсчёте числа комбинаций, которые можно составить из элементов данного множества.

При решении задач по комбинаторике проанализируйте:

1. Каково исходное множество и сколько элементов оно содержит (п).

2. Какие выборки производят из элементов данного множества и сколько элементов в выборке (т).

· Если элементы в выборке могут повторяться, и порядок в выборке важен, то для решения используйте правило произведения: Пусть требуется выполнить одно за другим kдействий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе – n₂ способами и т.д., то все k действий могут быть выполнены n₁n₂ n₃…n_k способами.

· Если элементы в выборке не повторяются, используйте размещения, перестановки или сочетания. Проанализируйте, важен ли порядок внутри каждой выборки. Для этого возьмите любую конкретную выборку и поменяйте два элемента местами. Если от этого смысл изменится, то порядок в выборке важен, если не изменится – не важен. Вам поможет следующая таблица:

Размещения	число размещений	упорядоченность выборки +
Перестановки	число перестановок	+ упорядоченность выборки
Сочетания	число сочетаний	упорядоченность выборки –

Где n! - факториал ( ) - произведение натуральных чисел от 1 до n (n! = 1∙2∙3∙…∙( n – 1)∙ n).

Пример 2.1. Из Москвы в Париж ведут 4 пути, а из Парижа в Лондон два. Сколькими способами можно добраться из Москвы в Лондон, заезжая в Париж?

Решение.

М

П

Л

 

1. Определяем количество действий k.В нашем примереk = 2, т.к. по условию нужно выполнить 2 действия: первое – путешествие из Москвы в Париж, второе – путешествие из Парижа в Лондон.

2. Определяем, сколькими способами можно выполнить каждое действие, т.е. находим n₁ и_. n₂.Первое действие – путешествие из Москвы в Париж – можно выполнить 4 способами, т.к. из Москвы в Париж ведут 4 пути, значит n₁ = 4. Второе действие – путешествие из Парижа в Лондон - можно выполнить 2 способами, т.к. из Парижа в Лондон ведут 2 пути, следовательно, n₂ = 2.

3. Пользуемся правилом произведения: наши 2 действия можно выполнить n₁n₂ способами,следовательно, из Москвы в Лондон с заездом в Париж ведут 2 4 = 8 дорог.

Пример 2.2. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

Решение. Переведем задачу на язык комбинаторики. Исходное множество - 16 команд первенства России - содержит 16 элементов (п = 16).

Из элементов данного множества мы составляем наборы (тройки призеров) по 3 элемента, следовательно, т = 3. Элементы внутри выборки не повторяются (одна и та же команда не может занять 2 призовых места).

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, возьмем набор команд Спартак, Динамо, Шинник. Это значит, что Спартак занял в чемпионате первое место, Динамо – второе, Шинник – третье. Если мы изменим порядок следования команд в наборе, получим совершенно другое распределение мест. Следовательно, порядок элементов в каждом наборе нам важен, мы имеем дело с размещениями из 16 по 3. Их число находим как по формуле : .

Итак, тройка призеров в чемпионате России по футболу может определиться 3360 способами.

Пример 2.3. На рабочем столе пользователя компьютера находится 7 ярлыков. Сколькими способами он может разместить их в один столбец?

Решение. Выделим исходное множество – 7 ярлыков на рабочем столе (п = 7).

Их необходимо разместить на 7 мест, т.е. составлять наборы по 7 элементов (т = 7). Элементы внутри выборки не повторяются (ярлык на одну программу не встречается 2 раза).

Порядок следования ярлыков в каждом наборе важен, поэтому мы имеем дело с размещениями всех 7 элементов, или с перестановками Р₇. Количество таких перестановок находим по формуле: . Тогда Р₇ = 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040.

Итак, пользователь может разместить ярлыки на рабочем столе 5040 способами.

Пример 2.4. В соревнованиях по футболу участвуют 4 команды: Шинник, Спартак, Динамо, Алания. Сколько матчей будет сыграно, если турнир, организован по круговой системе (каждый участник встречается с каждым 1 раз)?

Решение. Исходное множество представляет собой 4 команды, следовательно, состоит из 4 элементов (п = 4).

Из элементов этого множества мы составляем пары команд, участвующих в турнире, т.е. т = 2. Элементы внутри выборки не повторяются (команда не играет сама с собой).

При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречается с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Пара Ш-С и С-Ш – одна и та же. Поэтому мы имеем дело с сочетаниями. Их число находим по формуле Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 15 - 19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 20 - 24.

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 3. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями – 1 ч.

Цель:формирование умения определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок с повторениями заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&3.1.Проанализируйте, когда используются размещения, перестановки и сочетания с повторениями. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

3.2. Заполните таблицу:

Размещения с повторениями	число размещений	упорядоченность выборки …
Перестановки с повторениями	число перестановок где т1+ т2+…+ mk = …	… упорядоченность выборки
Сочетания с повторениями	число сочетаний	… упорядоченность выборки

Примеры и упражнения:

?3.3. Сколько различных трёхзначных номеров для автомобилей одной серии можно составить из нечётных цифр?

?3.4. Для награждения 12 лучших спортсменов колледжа администрация подготовила 5 одинаковых мячей, 3 набора для бадминтона и 4 набора для тенниса. Сколькими способами этими подарками можно наградить 12 лучших спортсменов колледжа?

?3.5. Дима решил на день рождения подруги сам составить и оформить красивый букет, в который могут входить только её любимые цветы: хризантемы, герберы и розы. Дима решил купить 7 цветов. Сколько вариантов подбора цветов для букета есть у Димы?

?3.6. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски (короля, ферзя, 2 коней, 2 ладьи, 2 слона)?

?3.7. Сколькими способами Шереметьева Н.В. может поставить оценки на экзамене по теории вероятностей и математической статистике 30 студентам группы ИС1-31?

¶3.8. Три юноши и две девушки группы ИС1-41 подыскали для прохождения практики 7 организаций: «Дельта1», «Дельта2», «Дельта3», «Корунд1», «Корунд2», «Лидер1» и «Лидер2». Но в «Дельте» согласились взять только юношей, в «Корунде» - только девушек, а «Лидер» готов принять любых студентов независимо от пола. Сколько способов распределения 5 данных студентов на практику существует?

Методические указания по выполнению работы:

Иногда в выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Размещениями с повторениями называют упорядоченные выборки по т элементов из исходного множества п элементов, где некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Число размещений с повторениями обозначается и находится как

Пример 3.1.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Решение. Примерами таких трехзначных чисел могут служить 111, 112, 221 и т.д.

Найдем п – число элементов исходного множества, п=2 (т.к. числа состоят только из цифр 1 и 2).

Найдем т – число элементов в каждой выборке, т=3 (т.к. составляются трехзначные числа).

Определяем, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Числа 112 и 211 состоят из одних и тех же цифр, но эти числа различны, т.к. порядок цифр в них разный. Следовательно, порядок элементов в каждой выборке важен. Значит, мы имеем дело с размещениями, а поскольку цифры 1 и 2 в каждом трехзначном числе могут повторяться, то перед нами размещения с повторениями:

Ответ: из цифр 1 и 2 можно составить 8 трехзначных чисел.

 

Пусть в исходном множестве содержится п элементов, при этом первый элемент встречается т₁ раз, 2-й – т₂ раз, а k-й – m_k раз (т₁+ т₂+…+ m_k = п), то число перестановок с повторениями Р_{т1,т2,…,тk} находится следующим образом:

Пример 3.2.Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

Решение. Исходное множество состоит из букв слова «МАТЕМАТИКА». Их ровно 10, следовательно п=10.

Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы Р₁₀ новых «слов». Но буква «М» употребляется в «слове» 2 раза, «А» – 3 раза, «Т» – 2 раза, оставшиеся три буквы – по разу. Следовательно, т₁ = 2, т₂ = 3, т₃ = 2, т₄ = т₅ = т₆ = 1. В данном примере порядок в каждом наборе 10 букв важен, значит, мы имеем дело с размещениями всех 10 элементов или с перестановками с повторением.

Искомое число перестановок будет равно

 

Ответ: 151200 «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА».

 

Число сочетаний с повторениями из п элементов по т выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 3.3. 8 студенток решили купить себе по одному пирожному. Они зашли в кафе, где в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколько различных заказов официантке могут сделать студентки?

Решение. Исходное множество содержит 5 элементов (идет выбор из 5 пирожных), следовательно п=5.

Так как каждая студентка заказывает себе по одному пирожному, то каждая выборка включает в себя 8 элементов (8 пирожных), т.е. т=8. Смотрим, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Поскольку официантке важно лишь сколько пирожных какого вида она должна принести, а порядок пирожных в каждом заказе не важен, то мы имеем дело с сочетаниями. Т.к. пирожные в одном и том же заказе могут повторяться, то перед нами сочетания с повторениями.

Таким образом,

Ответ: студентки могут сделать 495 различных заказов.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 24 - 26.

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 4. Задачи на применение формул комбинаторики – 1 ч.

Цель:формирование умения определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях, применяя формулы комбинаторики.

&4.1.Проанализируйте, когда используются размещения, перестановки и сочетания без повторения и с повторениями. Как рассчитать их число?

Примеры и упражнения:

?4.2. Сколько двузначных чисел можно составить из чётных цифр (2; 4; 6; 8) так, чтобы

а) использовались любые из них;

б) цифры не повторялись;

¶в) использовались одинаковые цифры?

?4.3. Сколько можно составить «слов» (под «словом» понимаем любую комбинацию заданных букв) из букв слова «компьютер» так, чтобы

а) «слова» были пятибуквенные;

б) «слова» были девятибуквенные;

¶в) «слова» из пяти букв не начинались с «ь»?

?4.4. Сколько можно составить «слов» из букв слова «программа» так, чтобы

а) «слова» были девятибуквенные;

б) девятибуквенные слова начинались с «г», заканчивались на «а»;

¶в) в «словах» из 9 букв две «м» шли подряд?

?4.5. Сколькими способами можно выбрать из 8 девушек и 5 юношей активистов профкома троих для подготовки сценария к юбилею колледжа, если

а) все трое должны быть девушки;

б) в состав группы должны входить 2 девушки и 1 юноша;

¶в) в состав группы должен входить хотя бы один юноша?

Методические указания по выполнению работы:

Из всех задач по теории вероятностей задачи по комбинаторике легко узнаются по формулировке поставленного вопроса «Сколькими способами?», «Сколько вариантов?» и т.д. Ответ в таких задачах всегда выражается целым числом.

При решении комбинаторных задач удобно использовать следующую схему:

 

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 15-19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 20 - 26.

 

Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Тема 2.1. Основные понятия теории графов

Задание 5. Исследование графов на связность и эйлеровость – 1 ч.

Цель:формирование умения задавать графы и деревья.

&5.1.Изучите, что называют графом, каковы его основные элементы. Вспомните, что называют степенью вершины, какой граф называют связным, эйлеровым путём и эйлеровым циклом.

Примеры и упражнения:

?5.2. Определите, какие графы можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Какие из них являются Эйлеровыми графами?

?5.3. Может ли граф иметь только одну нечетную вершину?

?5.4. На рисунке изображен план подземелья, в одной из комнат ко­торого скрыты богатства рыцаря. После его смерти наследники нашли за­вещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через каждую. Сокровища скрыты за той дверью, которая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища? Составьте граф для решения задачи. Выпишите путь, которым нужно пройти наследникам рыцаря, указывая пройденные вершины (например, 2-5-…).

Методические указания по выполнению работы:

Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Путь Эйлера — это путь, проходящий ровно один раз по каждому ребру. Если начало и конец такого пути совпадают, то путь называют циклом Эйлера. Путь и цикл Эйлера можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. - М.: Академия, 2012. – 368 с. – Гл. 2, §2.1, 2.3, стр. 69-78, 80-84.

Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Тема 2.1. Основные понятия теории графов

Задание 6. Задание графов и деревьев – 1 ч.

Цель:формирование умения задавать графы и деревья.

&6.1.Изучите, какой граф называют деревом, каковы его основные элементы.

Примеры и упражнения:

86.2. Составьте генеалогическое дерево своей семьи, состоящее не менее чем из четырёх ярусов. Оформите его красиво на листе формата А4 и сдайте преподавателю.

Методические указания по выполнению работы:

В качестве примера изучите генеалогическое дерево Александра Сергеевича Пушкина.

При составлении генеалогического дерева своей семьи обязательно включите в него следующее:

· даты жизни членов Вашей семьи;

· если есть возможность – фотографии родных, краткую информацию о них - род занятий, награды.

Соблюдайте структуру дерева, иерархию уровней. Критерии оценки выполняемой работы Вы найдёте на странице __.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. - М.: Академия, 2012. – 368 с. – Гл. 2, §2.1, 2.3, стр. 69-78, 80-84.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Цель: усвоение понятий случайного события, видов событий, операций, выполнимых над событиями. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &7.1.Внимательно изучите теоретический материал по теме «Случайное событие. Виды событий. Алгебра событий».

И А и В

А

А

W

3. Противоположное по отношению к событию А - событие Ā, которое заключается в том, чтобы событие А не произошло.

Ā

Не А

Пример 7.2.Испытание – наблюдение за двумя объектами.

А – обнаружение первого объекта, В – обнаружение второго объекта. В чем заключаются события , , , , ?

Решение. - обнаружение или первого, или второго объекта (хотя бы одного объекта);

- обнаружение и первого, и второго объекта (обнаружение обоих объектов);

- не обнаружить первый объект;

- обнаружить только второй объект;

- обнаружить ровно один объект (или первый, или второй).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.4, с. 27-31.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.2-1.4, с. 9 - 15.

 

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Цель: формирование умения применять классическое определение и формулы комбинаторики для вычисления вероятностей событий. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: & 8.1.Выучите классическое определение вероятности события. Изучите, какими свойствами обладает вероятность…

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Цель: формирование умения применять метод графов для вычисления вероятностей событий. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: & 9.1.Повторите классическое определение вероятности события. Изучите материал о применимости метода графов к…

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Цель: формирование умения представлять сложные события через элементарные с помощью операций над событиями, вычислять вероятности сложных событий с… Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &10.1.Повторите,какие операции можно выполнять над событиями.Выучите теоремы сложения вероятностей для совместных…

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Цель: формирование умения вычислять вероятности сложных событий с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &11.1.Выучите формулу полной вероятности и формулу Байеса. Разберите, в каких ситуациях применяют данные…

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 12. Вычисление вероятностей в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий в схеме Бернулли.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 12.1.Проанализируйте, когда применяется схема Бернулли. Выучите формулу для расчета вероятностей событий в схеме Бернулли.

?12.2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаях. Чему равна вероятность того, что из трех больных поправятся а) все три, б) два, в) не менее двух человек?

?12.3. По данным маркетинговой службы компьютерного салона, в среднем 20% покупателей в течение 3 лет с момента покупки модернизируют компьютер. Какова вероятность того, что из 4 наугад выбранных покупателей модернизировать компьютер в течение 3 лет будет а) ровно 1 человек; б) никто; в) не менее 3 человек?

¶12.4. (Задача де Мере). Сколько раз надо бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей можно было утверждать, что хотя бы раз появится 12 очков?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на использование формулы Бернулли:

1. Если в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний, то выделите их число - n испытаний.

2. Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, что для события А будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.

4. Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.

5. Подсчитайте, сколько «успехов» т соответствует событию А.

6. Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Если проводятся повторные независимые испытания (исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих), то

вероятность того, что в п испытаниях интересующее нас событие произойдет т раз, вычисляется по формуле Бернулли: , где

n – число испытаний,

m – число успехов,

p -вероятность успеха в одном испытании,

q = 1 – p - вероятность неудачи в одном испытании.

Пример 12.1. Подбрасывают игральную кость 3 раза. Какова вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза?

Решение: 1. В задаче рассматривается 3 повторных независимых испытания: 3 подбрасывания игральной кости, следовательно, число испытаний n = 3.

2. Искомое событие А – выпадет ровно две шестерки.

3. Для события А успехом в одном испытании будет выпадение «6».

4. Вероятность успеха p (выпадения «6») в одном испытании равна , неудачи q - невыпадения «6» равна 1 – p = 1 - = .

5. Событию А будет соответствовать ровно 2 успеха (2 шестерки), следовательно, т = 2.

6. Поскольку число испытаний невелико, применим формулу Бернулли: .

Тогда Р(А) = Р₃(2) = .

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.10, с. 62-65.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.19-1.20, с. 47-51.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 13. Приближённые формулы в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

?13.1. Изучите, когда применяют приближённые формулы в схеме Бернулли. Проанализируйте, в чём отличие интегральной и локальной теорем Муавра-Лапласа.

?13.2. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задание 1: Садоводом посеяно 3 зерна с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что взойдёт k зёрен.

Задание 2: На опытном участке посеяно п зёрен с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что

1. число взошедших зёрен будет равно т;
2. число взошедших зёрен будет колебаться между т₁ и т₂.

№ варианта соответствует Вашему номеру по списку в журнале учебной группы

№ вар.	п	р(%)	k	т	т1	т2
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%
		90%
		95%
		80%
		85%

Методические указания по выполнению работы:

Домашняя контрольная работа выполняется в тетради для практических работ. Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В тетради необходимо прописать концепцию схемы Бернулли, все расчеты и используемые формулы. Значения функций Гаусса и Лапласа берутся из таблиц приложений 1 и 2.

· Прежде чем приступать к расчётам проанализируйте, рассматривается ли в задаче серия повторных независимых испытаний. Если да, то выделите их число - n испытаний.

· Выпишите случайные событие А и В, вероятность которых необходимо найти в заданиях 1 и 2.

· Определите, что для событий А и В будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.

· Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.

· Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли (задание 1). Если при выполнении задания 1 возникают сложности, обратитесь к методическим указаниям по выполнению практической работы №12 и разобранному примеру.

· Если число испытаний п достаточно велико и то примените приближённые формулы (задание 2).

Если в задаче требуется определить, что интересующее нас событие появится в п испытаниях ровно т раз, то искомая вероятность находится по локальнойтеореме Муавра-Лапласа: где .

Функция называется функцией Гаусса. Значения функции Гаусса помещены в специальных таблицах и приведены в приложении 1.

Важно, что т.е. - четная функция.

Если необходимо вычислить вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз, то применяют интегральную теорему Муавра- Лапласа:

где ,

Функция Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х).

Пример 13.1. Вероятность того, что один компьютер не выйдет из строя в течение года, равна 0,8. Определите вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров

а) 315 будут в рабочем состоянии в течение года;

б) не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров.

Решение. 1. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, применима схема Бернулли, причём п = 400.

Будем искать вероятность события А - 315 ПК будут в рабочем состоянии в течение года

Введём вспомогательное событие А₁ - один ПК будет в рабочем состоянии в течение года.

Для А₁ р = 0,8, q = 0,2.

2. Поскольку п достаточно велико, проверим, выполняется ли равенство :

npq = 400·0,8·0,2 = 64 > 10, следовательно, локальная и интегральная теоремы применимы.

3. а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа при т = 315.

Найдем значение х:

Найдем В силу того, что по таблице значений функции Гаусса находим φ(0,625) ≈ φ(0,63) = 0,3271.

По теореме Муавра-Лапласа Р(А) =

Итак, вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров ровно 315 будут в рабочем состоянии в течение года, равна 0,0409.

б) По условию задачи т₁ = 300, т₂ = 340. Найдём вероятность события В - не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров

Для вычисления Р(В) используем интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Найдем значения х₁ и х₂:

= ;

= .

Найдем по таблицам значение функции Лапласа Ф(х). Т.к. Ф(-х) = - Ф(х), Ф(-2,5) = - Ф(2,5), Ф(2,5) = 0,4938. Тогда

Р(В) =

Итак, вероятность того, что в течение года из 400 компьютеров не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров, равна 0,9876.

Ответ: Р(А) = 0,0409; Р(В) = 0,9876.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.13, с. 70-73.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.21, с. 54-58.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)

Тема 4.1. ДСВ: закон и функция распределения

Задание 14. Закон распределения и интегральная функция ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон и интегральную функцию распределения ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 14.1.Выучите, что называют случайной величиной, какая случайная величина называется дискретной, чем задается ДСВ. Разберите, что называют интегральной функцией распределения случайной величины и какими свойствами она обладает.

?14.2. Составьте закон распределения количества делителей натурального числа, выбранного наугад из чисел от 1 до 10.

?14.3. Преподаватель предлагает студенту Петрову решить две задачи. Вероятность правильно решить первую задачу для Петрова оценивается преподавателем как 0,7, вторую – 0,5. Составьте закон распределения числа задач, правильно решённых студентом Петровым.

?14.4. В группе туристов из 12 человек умеют готовить 8. Руководитель туристической группы назначает двух дежурных. Составьте закон распределения числа человек среди выбранных дежурных, которые умеют готовить.

?14.5. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

а)	X	-3			б)	X	-1
	P	0.6	0.3	?		P	0,18	0,27	0,12	0,32	?

?14.6. Найдите закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения «герба» при трех подбрасываниях монеты.

¶14.7. Составьте закон и интегральную функцию распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

¶14.8. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,8, второго – 0,6, третьего – 0,5. Составьте закон и интегральную функцию распределения для числа нормально работающих ТУ.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на составление закона и интегральной функции распределения ДСВ:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайную величину Х, закон распределения которой необходимо составить по условию задачи.

3. Для заданной случайной величины начните составлять таблицу (закон распределения), выписав её возможные значения в верхней строке.

4. Найдите вероятность каждого значения ДСВ, используя ранее изученные методы, и занесите их во вторую строку закона распределения.

5. Проверьте корректность задания ДСВ: сумма вероятностей в нижней строке должна быть равна 1.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Случайная величина называется дискретной, если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить, или они эквивалентны счетному множеству.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn	…	S
Р	p1	p2	…	pn	…

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x), .

Пример 14.1.В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку.

Решение. 1. Испытание – выбор двух тетрадей из 10 (6 в клетку, 4 в линейку).

2. Случайная величина Х - число выбранных тетрадей в клетку.

3. Выделим возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2.

4. Для нахождения вероятности каждого исхода воспользуемся методом графов:

 

К

К

Л

К

Л

Л

Х

 

 

 

На рёбрах графа, ведущих к случайной величине Х, расставляем значения, которые принимает случайная величина при каждом исходе: выбрано 2 тетради в клетку (x₁=2), одна тетрадь в клетку (x₂ = 1), ни одной тетради в клетку (x₃ = 0).

С помощью графа найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное числовое значение:

Р(Х = 2) = , Р(Х = 1) = , Р(Х = 0) = .

Искомый закон распределения запишем в виде таблицы:

Х
Р

5. Проверим сумму вероятностей в нижней строке: . Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Пример 14.2.Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

X	-2	-1
P	0,2	0,4	0,3	0,1 -2 -1 х 0.6 0.2 0.9 у = F(x)

Решение.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.1-2.1.2, с. 102-106.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.

 

 

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.2. Числовые характеристики ДСВ

Цель: формирование умения находить функции от ДСВ, вычислять числовые характеристики ДСВ, заданной законом распределения, строить графики функций от… Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: & 15.1.Разберите, какие числовые характеристики дискретной случайной величины существуют. Вспомните формулы для…

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики биномиальной ДСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &16.1.Изучите особенности биномиально распределенной ДСВ.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики геометрически распределённой ДСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &17.1.Изучите особенности геометрически распределенной ДСВ.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики разного вида ДСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &18.1.Повторите особенности биномиально и геометрически распределенной ДСВ.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 19. Геометрическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование умения применять формулу геометрического определения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&19.1.Разберите, в чем заключается геометрическое определение вероятности события, в каких случаях оно применимо.

?19.2.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Ремонтная бригада, обслуживающая этот участок, располагается на 50-м километре. В какую сторону ей лучше выезжать? С какой вероятностью Ваш совет окажется правильным?

?19.3. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной 7 см, брошена монета радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников?

819.4. Малыш наугад показывает пальцем точку на глобусе. Какова вероятность, что он попадет: а) в Россию; б) в Тихий океан; в) в Восточное полушарие.

Указание: для решения этой задачи Вам придется обратиться к энциклопедии или учебнику географии.

¶19.5. Два студента договорились о встрече в колледже в случайный момент времени с 12.00 до 13.00. Терпения друзей хватает только на 15 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на геометрическую вероятность:

1. Выделите испытание.

2. Опишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, можно ли использовать формулу геометрической вероятности: каждый исход должен быть представим в виде точки на прямой, на плоскости или в пространстве. Общее число всех возможных исходов должно быть бесконечно.

4. Выполните чертеж, на котором обозначьте пространство всех возможных исходов W, и область исходов, благоприятствующих наступлению событию А.

5. Выберите соответствующую формулу для расчета в зависимости от того, какие области вы построили, и найдите вероятность события А.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области исходов Ω:

На числовой прямой «мера» - длина;

на плоскости «мера» - площадь;

в пространстве «мера» - объем.

Пример 19.1. На острове пираты зарыли клад. Искатели сокровищ точно знают, что клад надо искать на этом острове, но не знают, в каком месте зарыт клад. Они определили место для поисков в форме квадрата со стороной 10 метров. Какова вероятность того, что они найдут клад, если площадь острова 1000 м²?

Решение. 1. Испытание – поиск клада на острове площадью 1000 м².

2. Событие А – найти клад на выбранном участке в форме квадрата со стороной 10 метров.

А

3. Каждый исход (место расположения клада) можно рассматривать в виде точки на плоскости, следовательно, геометрическое определение вероятности применимо.

4. Выполним чертеж. Пространство элементарных исходов – область Ω произвольной формы, область исходов, благоприятствующих событию А – квадрат со стороной 10 м.

5. Поскольку мы работаем на плоскости, мерой является площадь, и Р(А) = ; S_Ω = 1000 м², S_А = 100 м² (площадь квадрата).

Тогда Р(А) = 100/1000 = 0,1.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.5, с. 32-33.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.10, с. 31-33.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 20. Вычисление вероятностей, запись функции плотности и интегральной функции распре­деления ДСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функцию плотности по интегральной функции распределения НСВ и наоборот; вычислять вероятности для НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&20.1.Разберите, какой функцией задаётся НСВ и каковы её основные свойства. Проанализируйте, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ.

?20.2. Установите, какие из функций могут задавать f(x), какие - F(x) для НСВ и заполните таблицу:

Может задавать f(x)	Может задавать F(x)	Не задаёт ни f(x), ни F(x)

Г

В

Б

А

Ж

З

Е

Д

?20.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

?20.4. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

1) 2)

а) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

б) найдите интегральную функцию распределения,

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал

20.4.1) (1; 2,5);

20.4.2)

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

¶20.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).

¶20.6. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= . Найдите коэффициент а, вероятность попадания в интервал (π/6; π/3), постройте график F(х).

Методические указания по выполнению работы:

Для решения задач нам потребуется знание следующего материала:

1. Интегральная функция распределения F(x) и функция плотности вероятностиf(x) связаны соотношениями: f(x) = F’(x), F(x) = .

Функция плотности вероятности f(x) задана корректно, если выполняется равенство:

2. Вероятность того, что случайная величина Х принадлежит интервалу (а,в), находится по формулам: P(а<X < в) = F(в) - F(а) или P(а<X < в)= .

Пример 20.1. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= .

а. найдите f(x),

б. докажите корректность задания НСВ,

в. вычислите Р(0,6 1)

г. постройте графики F(х) и f(x), отметьте на графиках вероятность, найденную в пункте (в).

Решение.

а. Для нахождения f(x) воспользуемся формулой: f(x) = F´(x), тогда

f(x) = 0’ = 0 при х<0,

f(x) =(х²)’ = 2х при 0≤ х<1,

f(x) = 1’ = 0 при х≥1.

Получили, что функцию f(x) можно представить в виде:

.

б. Проверим корректность задания НСВ. Очевидно, что f(x) ≥ 0; проверим выполнение условия . В силу свойств определенного интеграла, исходный интеграл можно представить как сумму трех интегралов:

f(x) задана корректно.

в. Вычислим Р(0,6 1). Для этого воспользуемся свойствами интегральной функции F(x): , тогда а=0,2, b=1.

Р(0,6 1) = F(1) - F(0,6) = 1² – 0,6² = 1 – 0,36 = 0,64.

г. Построим графики F(х) и f(x):

S

2

1

0,6

у=f(х)

х

S= P(0,6<x<1)

у=F(х)

х

F(1)

Видим, что график интегральной функции распределения НСВ непрерывен.

Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна площади фигуры S.

Пример 20.2. По известной функции плотности вероятности f(x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если .

Решение.

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

1) при х < -π/2

2) при -π/2 ≤ х <0

= sinx + 1

3) при х ≥ 0

= 1

Получили, что F(х) имеет вид: F(х)= , что согласуется с определением и свойствами F(х).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.5.1, с. 130-132.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.4, с. 69-73.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ

Цель: формирование умения находить числовые характеристики НСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &21.1.Повторите, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ. Изучите,…

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для равномерно и показательно распределенной НСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &22.1.Изучите, какими функциями задаются равномерно и показательно распределённые НСВ. Разберите, какие формулы…

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для нормально распределенной НСВ. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &23.1.Изучите, как задаётся и какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, распределённой по нормальному…

Раздел 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Тема 6.1. Закон больших чисел

Цель: формирование глубоких и прочных знаний центральной предельной теоремы, неравенства Чебышева, закона больших чисел в форме Чебышева и Бернулли,… Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &24.1.Изучите, используя список литературы, теоретический материал по теме «Закон больших чисел».

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Цель: формирование умения проводить статистические исследования: осуществлять сбор, систематизацию и проводить полную обработку статистических… Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: & 25.1.Разберите, какие основные этапы включает в себя статистическое исследование, в виде какого ряда можно…

В течение месяца собирайте статистические данные по выбранной проблеме.

1. Сколько времени в день Вы проводите перед персональным компьютером (включая занятия в колледже)?
2. Сколько сигарет Вы выкуриваете за день? Какой вред своему здоровью Вы этим наносите?
3. Сколько минут в день Вы говорите по мобильному телефону или пользуетесь услугами ICQ?
4. Какую часть Вашей жизни занимает сон: проанализируйте, сколько часов в день Вы спите. Каковы гигиенические нормы сна для Вашего возраста?
5. Сколько времени в день Вы пользуетесь услугами сети Internet?
6. Сколько времени в день Вы тратите на выполнение домашнего задания?
7. Сколько денег в день Вы тратите на «карманные расходы» (питание, пользование услугами мобильной связи, любые текущие покупки (даже на «вредные привычки»), плату за проезд)?

II. Блок «Моя группа – какая она?»

Опросите всех студентов Вашей группы по выбранной проблеме.

1. Какова статистика роста студентов Вашей группы?
2. Какова статистика роста при рождении студентов Вашей группы?
3. Какова статистика веса при рождении студентов Вашей группы?
4. Сколько часов в день студенты Вашей группы уделяют занятию спортом (включая занятия по физической культуре)?
5. Сколько раз в месяц студенты Вашей группы употребляют спиртные напитки (включая пиво и энергетические напитки)? Какой вред своему здоровью они наносят?

III. Блок «Моя планета, моя страна, мой город»

Найдите соответствующие данные в сети Интернет

Методические указания по выполнению работы: Математическая статистика - раздел математики, изучающий методы сбора,… Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность – совокупности всех изучаемых…

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Цель: формирование умения рассчитывать доверительные интервалы с заданной надежностью для математического ожидания и вероятности события. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: &26.1.Вспомните, какая оценка называется интервальной. Изучите алгоритмы нахождения интервальной оценки М[Х] при…

Нахождение интервальной оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении)

  а

Нахождение интервальной оценки вероятности события

δ – точность оценки, находится по формуле: , п – объем выборки, t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы: ?П1.В газете «Окно» 8 страниц. Сколькими способами в ней можно разместить 4… ?П2. Одна и та же контрольная работа была проведена в трех параллельных группах. В первой группе из 30 студентов на…

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.

Дополнительная литература:

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2009. – 479 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. - 11-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. – 404 с..

5. Калинина В.Н. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2002. – 336 с.

6. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. - М.: Академия, 2012. – 368 с.

7. Кочетков Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. – М.: Форум: Инфра-М, 2005. – 480 с.

8. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах: учебное пособие / В.В.Афанасьев Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1994. – 123 с.

9. Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. - №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)

10. Афанасьев В.В. Теория вероятностей: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика» / В.В.Афанасьев. – М.: Изд-во «Владос», 2007 – 351 с.

11. Афанасьев В.В. Школьникам о статистике в играх: учебное пособие / В.В.Афанасьев, М.А.Суворова. - Ярославль, Изд-во ЯГПУ, 2012. – 153 с.

 

Приложение 1

x
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0	0,0001

Таблица значений функции , где , причём = .

 

 

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа Ф(х), где , причём Ф(х) = - Ф(х).

x
0,0	0,0000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,3413
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,4772
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,4986
3,1	0,4990
3,2	0,4993
3,3	0,4995
3,4	0,4997
3,5	0,49981
3,6	0,49985
3,7	0,49989
3,8	0,49993
3,9	0,49995
4,0	0,499968
4,5	0,499997
5,0	0,4999997