Задание 15. Нахождение числовых характеристик ДСВ – 2 ч.
Цель: формирование умения находить функции от ДСВ, вычислять числовые характеристики ДСВ, заданной законом распределения, строить графики функций от ДСВ.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 15.1.Разберите, какие числовые характеристики дискретной случайной величины существуют. Вспомните формулы для расчёта и единицы измерения каждой ДСВ.
?15.2. Случайная величина Х задана законом распределения:
а)
| Х | |||||
| Р | 0,14 | 0,20 | 0,39 | 0,17 | ? |
б)
| Х | -2 | -1 | |||
| Р | 0,15 | 0,21 | 0,13 | 0,32 | ? |
Найдите недостающую вероятность, числовые характеристики ДСВ, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).
?15.3. Для участия в олимпиаде по программированию в ЯГК были отобраны три юноши и три девушки. Три победителя будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте закон распределения числа девушек, которые будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте интегральную функцию распределения и постройте её график. Найдите числовые характеристики ДСВ.
?15.4. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
В таблице в зависимости от варианта (совпадает с номером по журналу учебных занятий) дан закон распределения дискретной случайной величины Х.
Найдите:
Постройте:
| № вар. | Вер - ть | Значения случайной величины Х | ||||||
| Р | 0,01 | 0,12 | 0,23 | 0,28 | 0,19 | 0,11 | ? | |
| Р | 0,20 | 0,31 | 0,24 | 0,13 | 0,07 | 0,04 | ? | |
| Р | 0,04 | 0,08 | 0,32 | 0,31 | 0,15 | 0,08 | ? | |
| Р | 0,42 | 0,23 | 0,15 | 0,10 | 0,06 | 0,03 | ? | |
| Р | 0,03 | 0,29 | 0,12 | 0,15 | 0,21 | 0,16 | ? | |
| Р | 0,05 | 0,12 | 0,18 | 0,30 | 0,18 | 0,12 | ? | |
| Р | 0,06 | 0,08 | 0,12 | 0,24 | 0,33 | 0,14 | ? | |
| Р | 0,16 | 0,25 | 0,25 | 0,16 | 0,10 | 0,05 | ? | |
| Р | 0,02 | 0,38 | 0,30 | 0,16 | 0,08 | 0,04 | ? | |
| Р | 0,08 | 0,10 | 0,10 | 0,17 | 0,19 | 0,18 | ? | |
| Р | 0,04 | 0,05 | 0,08 | 0,12 | 0,16 | 0,29 | ? | |
| Р | 0,01 | 0,06 | 0,17 | 0,40 | 0,18 | 0,16 | ? | |
| Р | 0,14 | 0,16 | 0,20 | 0,22 | 0,16 | 0,04 | ? | |
| Р | 0,08 | 0,10 | 0,26 | 0,18 | 0,16 | 0,12 | ? | |
| Р | 0,04 | 0,10 | 0,32 | 0,20 | 0,12 | 0,12 | ? | |
| Р | 0,03 | 0,17 | 0,20 | 0,30 | 0,16 | 0,11 | ? | |
| Р | 0,40 | 0,24 | 0,16 | 0,11 | 0,05 | 0,02 | ? | |
| Р | 0,05 | 0,16 | 0,29 | 0,20 | 0,16 | 0,08 | ? | |
| Р | 0,02 | 0,05 | 0,13 | 0,30 | 0,24 | 0,13 | ? | |
| Р | 0,21 | 0,31 | 0,22 | 0,13 | 0,10 | 0,02 | ? | |
| Р | 0,04 | 0,05 | 0,21 | 0,34 | 0,19 | 0,10 | ? | |
| Р | 0,07 | 0,13 | 0,16 | 0,24 | 0,22 | 0,16 | ? | |
| Р | 0,03 | 0,06 | 0,11 | 0,19 | 0,21 | 0,25 | ? | |
| Р | 0,35 | 0,24 | 0,17 | 0,15 | 0,05 | 0,03 | ? | |
| Р | 0,12 | 0,18 | 0,22 | 0,20 | 0,12 | 0,10 | ? | |
| Р | 0,41 | 0,22 | 0,13 | 0,10 | 0,07 | 0,04 | ? | |
| Р | 0,01 | 0,09 | 0,17 | 0,44 | 0,19 | 0,08 | ? | |
| Р | 0,06 | 0,14 | 0,22 | 0,33 | 0,15 | 0,09 | ? | |
| Р | 0,07 | 0,16 | 0,23 | 0,25 | 0,19 | 0,06 | ? | |
| Р | 0,34 | 0,21 | 0,18 | 0,13 | 0,07 | 0,04 | ? | |
| Р | 0,02 | 0,09 | 0,27 | 0,32 | 0,20 | 0,07 | ? | |
| Р | 0,05 | 0,15 | 0,29 | 0,21 | 0,19 | 0,10 | ? | |
| Р | 0,11 | 0,16 | 0,23 | 0,28 | 0,15 | 0,06 | ? | |
| Р | 0,39 | 0,24 | 0,17 | 0,11 | 0,06 | 0,02 | ? | |
| Р | 0,08 | 0,15 | 0,22 | 0,27 | 0,13 | 0,07 | ? | |
| Р | 0,13 | 0,19 | 0,23 | 0,18 | 0,13 | 0,10 | ? |
¶15.5.Санкт-Петербургский парадокс: Вы решили сыграть в следующую игру: Вы платите некоторое количество денег за участие в игре. Затем Вы берёте монету и подбрасываете её до тех пор, пока не выпадет решка. Если решка выпадет при первом броске монеты, то Вы получите 2$, если при втором - 4$, если при третьем – 8$, если при четвертом - 16$ и т.д. (приз каждый раз удваивается). Сколько денег Вам нужно заплатить за участие в игре, чтобы игра была безобидной? (Указание: игра безобидная, если математическое ожидание случайной величины Х – суммы Вашего выигрыша, такое же, как ставка за участие в игре.)
Методические указания по выполнению работы:
1. Пояснения к решению:
Домашняя контрольная работа №2 включает в себя 8 заданий и состоит из двух частей: расчетной и графической. Работа выполняется в тетрадях для практических работ.
Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В отчетной работе необходимо приводить все расчеты и используемые формулы.
1.1. Расчетная часть: при выполнении расчетной части примените изученные Вами формулы.
1.2. Графическая часть:Графики выполняются в тетради для практических работ. Обязательно задание единиц измерения и соблюдение масштаба при построении графиков.
1.3. Выводы:В конце работы следует сделать вывод о том, какие числовые значения Мо(Х), М(Х), D(Х), получены, что они характеризуют и в каких единицах измеряются.
В случае затруднений при выполнении работы обратитесь к примеру 15.1.
Пример 15.1.Для ДСВ, заданной законом распределения
| Х | -5 | |||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | ? |
найдите недостающую вероятность, числовые характеристики, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).
Решение:
| № | Теоретический материал | Пример |
| Сумма вероятностей для всех значений ДСВ всегда равна единице, т.е. р1 + р2 + … + рп = 1. | Р(Х=6) = 1 – (0,1+0,2+0,3) = = 1 – 0,6 = 0,4 | |
| Мода – такое значение ДСВ, вероятность которого наибольшая | Мо(Х) = 6 (ед.). т.к. у значения ДСВ х=6 наибольшая среди всех вероятность 0,4 | |
| Медиана – среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ. Медиана для упорядоченного по возрастанию значений закона ДСВ есть одно или два «серединных» значения х, для которых номер мест вычисляется по формуле: | Т.к. п = 4 (число значений х в таблице), то . Следовательно, номера мест значений медианы – 2 и 3. Ме(Х) = 0 (ед.) и Ме(Х) = 2 (ед.). | |
| Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и находится по формуле: M(X) = х1·р1 + х2·р2+…+ хп·рп. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. | М(Х) = -5·0,1 + 0·0,2 + 2·0,3 + 6·0,4 = -0,5 + 0,6 + 2,4 = 2,5(ед.) | |
| Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна формула: D(X) = M(X2) - M2(X), где M(X2) = х12·р1 + х22·р2+…+ хп2·рп, а M(X) находится в пункте 4. Дисперсия измеряется в квадратных единицах. | М(Х) = 2,5, M(X2) =(-5)2·0,1 + 02·0,2 + 22·0,3 + 62·0,4 = 2,5 + 1,2 + 14,4 = 18,1 (ед2.) Тогда D(X) = M(X2) - M2(X)= 18,1 – 2,52 = 18,1 – 6,25 = 11,85 (ед2.) | |
| Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) находится по формуле: | = (ед.) | |
| Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x) = P(X < x), . | ||
| Графическим изображением закона распределения ДСВ является набор точек с координатами (х1; р1), (х2; р2)… (хп; рп), последовательно соединенных отрезками (многоугольник распределения). | ||
| График интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид |
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.3, с. 106-118.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.