Задание 16. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной ДСВ – 1 ч.
Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики биномиальной ДСВ.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
&16.1.Изучите особенности биномиально распределенной ДСВ.
?16.2. Ученику в начале урока предлагается небольшая тестовая работа, состоящая из 5 заданий. В каждом задании нужно ответить только «да» или «нет». Составьте закон распределения числа вопросов, на которые ученик может ответить правильно, если он отвечает наугад. Найдите числовые характеристики ДСВ.
?16.3. Кандидата Петрова перед выборами мэра города поддерживают 20% избирателей. На теледебаты пригласили четырёх человек – жителей города. Составьте закон и интегральную функцию распределения числа поддерживающих Петрова жителей города, участвующих в теледебатах. Найдите числовые характеристики ДСВ.
¶16.4. Докажите разумность или опровергните идею мартингальной системы, заключающейся в удвоении ставки при проигрыше. (Предположим, что мы играем в рулетку и всегда ставим на красное. Сначала поставим один доллар. Если выигрываем, то прекращаем игру; при проигрыше ставим в следующий раз 2 доллара и т.д.)
Методические указания по выполнению работы:
При выборе закона распределения, применяемого при решении конкретной задачи, удобно воспользоваться следующей схемой:
| Испытания |
| зависимые |
| повторные независимые |
| выборка т объектов из п (п1 нужного вида) |
| число испытаний п задано |
| испытания проводятся до успеха |
| биномиальное распределение |
| геометрическое распределение (или ему аналогичное) |
| для составления закона распределения используйте метод графов |
| для составления закона распределения используйте формулу Бернулли |
| Числовые характеристики |
| для бесконечного случая , |
| для составления закона распределения используйте метод графов или |
| гипергеометрическое распределение |
Пример 16.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Составьте закон распределения числа сайтов с полезной для студента информацией. На скольких в среднем сайтах он найдет полезную для себя информацию? Найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Решение. Испытание – поиск информации на 3-х сайтах.
Случайная величина Х - число сайтов с полезной для студента информацией. Она принимает значения 0, 1, 2 или 3.
Имеем серию повторных независимых испытаний, число испытаний задано (n = 3). Следовательно, перед нами биномиальное распределение. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6, вероятность неудачи q = 1 – 0,6 = 0,4.
По формуле Бернулли , тогда
;
;
;
.
Искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:
| Х | ||||
| Р | 0,064 | 0,288 | 0,432 | 0,216 |
Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,064+0,288+0,432+0,216=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.
Найдем числовые характеристики биномиально распределенной случайной величины:
М(Х) = 3·0,6 = 1,8, т.е. в среднем студент найдет полезную информацию на двух сайтах.
D(Х) = 3·0,6·0,4 = 0,72.
σ(Х) = .
Ответ: М(Х) = 1,8, D(Х) = 0,72, σ(Х) .
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.2, с. 118-123.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 85-86.