Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ

Задание 21. Нахождение числовых характеристик НСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&21.1.Повторите, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ. Изучите, какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, в чём сущность каждой характеристики.

?21.2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

¶21.3. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

 

а) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите интегральную функцию распределения.

¶21.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

F(х)= е^х, при х 0.

1 , при х>0

Найдите f(х), Р(-2 0), М(Х).

Методические указания по выполнению работы:

При выполнении работы необходимо знание числовых характеристик НСВ:

1. Математическое ожидание – среднее значение случайной величины – находится по формуле:

.Измеряется в тех же единицах, что и случайная величина.

2. Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна следующая формула:

, где M(X) находится в пункте 1.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах.

3. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) находится по формуле:

4. Медианой называется такое значение случайной величины М_е, что P{X < M_e} = P{X > M_e}. Для нахождения медианы нужно воспользоваться соотношением: .

Пример 21.1. Для найдите М(Х), D(Х), , Ме(Х).

Решение:

1. Найдём математическое ожидание: следовательно (т.к. при f(x)=0 крайние интегралы равны нулю: )

.

2. По формуле дисперсии D(X) = M(X²) - M²(X), где .

Тогда .

Получили, что D(X) = = .

3.Среднеквадратическое отклонение

4.Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение М_е, что P{X < M_e} = P{X > M_e}.

Для расчета медианы используют формулу: F(M_e) = ½.

Поскольку F(х)= (пример 20.1), а F(M_e) = ½, получим уравнение:

х² = ; х = . Нам подойдет только одно значение корня – положительное, поскольку функция принимает положительные значения лишь при х, принадлежащих промежутку от 0 до 1.

Тогда M_e = , M_e≈0,7.

Если на чертеже провести прямую х=M_e, она разделит площадь под кривой у= f(x) на две равные части.

S2

S1

2

1

0,7

у=f(х)

х

S1= S2

Так, если в нашем примере на чертеже провести прямую х= , она разделит исходный прямоугольный треугольник на две фигуры (треугольник и трапецию), имеющие одинаковые площади:

 

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.5.2, с. 132-136.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.5, с. 73-80.