Задание 22. Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной НСВ – 1,5 ч.
Цель: формирование умения находить числовые характеристики для равномерно и показательно распределенной НСВ.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
&22.1.Изучите, какими функциями задаются равномерно и показательно распределённые НСВ. Разберите, какие формулы существуют для расчёта числовых характеристик данных НСВ.
?22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке
1) [3; 5]; 2) [-1; 7]; 3) [-6; -5]. Найдите:
а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);
в) интегральную функцию распределения и постройте её график;
г) вероятность попадания значений НСВ в интервал
22.2.1) [3; 4];
22.2.2) [0; 4];
22.2.3) [-5,5; -5].
| 3. |
| 1. |
| 2. |
Определите:
а) вид распределения НСВ;
б) функцию плотности вероятности f(x);
в) числовые характеристики НСВ.
?22.4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности
1) ; 2) .
Найдите:
а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;
в) интегральную функцию распределения и постройте её график:
г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [0; 1].
?22.5. Время безотказной работы компьютера распределено по показательному закону с надёжностью R(t). Найдите вероятность того, что компьютер проработает t часов, если
а) , t = 2 000 часов;
б) , t = 4 000 часов.
¶22.6. Вращаем рулетку в интеллектуальном казино. Случайная величина Х – угол, образованный стрелкой и сектором «зеро». Определите, на каком промежутке распределена случайная величина Х. Составьте функцию плотности вероятности f(х), найдите вероятность того, что стрелка отклонится от сектора «зеро» не более чем на 90о в обе стороны.
¶22.7. Холодильник имеет постоянную интенсивность отказа, равную λ = 10-5 откл/час. Какова вероятность того, что холодильник откажет после гарантийного срока 20 000 часов?
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач данной темы определите вид распределения НСВ и в зависимости от этого (равномерно или показательно распределённая НСВ) используйте соответствующие формулы. Они приведены в примерах 22.1 и 22.2.
Пример 22.1.Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 10]. Найдите:
а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);
в) интегральную функцию распределения и постройте её график;
г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];
Решение:
| № | Теоретический материал для равномерного распределения | Пример | ||||||
| Распределение вероятностей называется равномерным на промежутке [a;b], если оно задается функцией плотности вероятности вида: . | Поскольку НСВ Х распределена равномерно на отрезке [0; 10], то a=0, b=10, и функция плотности вероятности будет иметь вид: . | |||||||
| График функции плотности вероятности для равномерного распределения имеет вид: |
| |||||||
| Математическое ожидание | ||||||||
| Дисперсия | ||||||||
| Среднеквадратическое отклонение | ||||||||
| Медиана | ||||||||
| Интегральная функция распределения для равномерного распределения имеет вид: | F(х)= | |||||||
| График интегральной функции распределения имеет вид: |
| |||||||
| Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как | = = |
Пример 22.2.Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности .
Найдите:
а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;
в) интегральную функцию распределения и постройте её график;
г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];
Решение:
| № | Теоретический материал для показательного распределения | Пример |
| Распределение вероятностей называется показательным, если оно задается функцией плотности вероятности вида: где λ – параметр. | Данная случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ = 2. | |
| График функции плотности вероятности для показательного распределения имеет вид: | ||
| Математическое ожидание | ||
| Дисперсия | ||
| Среднеквадратическое отклонение | ||
| Интегральная функция распределения для показательного распределения имеет вид: | ||
| График интегральной функции распределения имеет вид: | ||
| Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как | = = = 0,0025-0,0003 = 0,0022 |
Пример 22.3. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: R(t) = . Найдите вероятность того, что за время t = 40 ч
а) элемент не откажет;
б) элемент выйдет из строя.
Решение. Условие задачи указывает на показательный закон надежности для времени t = 40 ч.
Функция надёжности, определяющая вероятность безотказной работы за время t, имеет вид:
R(t) = , где λ – интенсивность отказов.
То есть вероятность безотказной работы элемента за 40 ч равна:
.
Поэтому вероятность противоположного события – отказа или выхода из строя элемента за 40 ч – .
Ответ: а) вероятность безотказной работы элемента равна 0,45;
б) вероятность выхода элемента из строя – 0,55.
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.7-2.8, с. 138-146.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 91-96.