Задание 23. Нахождение числовых характеристик для нормально распределенной НСВ – 1,5 ч.
Цель: формирование умения находить числовые характеристики для нормально распределенной НСВ.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
&23.1.Изучите, как задаётся и какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, распределённой по нормальному закону. Проанализируйте, что будет происходить при изменении параметров а и σ.
?23.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
1) ; 2) .
Найдите:
а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;
в) вероятность попадания значений НСВ в интервал
23.2.1. [1; 4];
23.2.2. [-2; 0].
?23.3. Текущая цена акции может быть смоделирована по нормальному закону с математическим ожиданием 15 усл.ед. и среднеквадратическим отклонением 0,3 усл.ед. Найдите вероятность того, что цена акции
а) не превышает 15,5 усл.ед.;
б) не ниже 15,5 усл.ед.;
в) заключена в пределах от 15,1 до 15,4 усл.ед.;
г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться текущая цена акций.
?23.4. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя предполагают, что благодаря ему средняя длина пробега составит 160 тыс. км, а среднеквадратическое отклонение – 30 тыс. км. Средняя длина пробега автомобиля – случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что длина пробега автомобиля с таким двигателем составит
а) не менее 110 тыс. км;
б) не более 170 тыс. км;
в) от 110 до 180 тыс. км;
г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина пробега автомобиля.
?23.5. Изменение индекса ценных бумаг на фондовой бирже может быть смоделировано как НСВ с нормальным распределением, параметры которой а = 1 и σ = 0,2. Постройте схематически график функции плотности вероятности f(x). Что произойдёт с кривой, если изменить параметры:
а) а = 1,5, σ = 0,2;
б) а = 0,8, σ = 0,2;
в) а = 1 и σ = 0,1;
г) а = 1 и σ = 0,3.
Постройте разными цветами на одном чертеже кривые для п. а) – г).
¶23.6. Чистая прибыль крупных нефтяных компаний за текущий год является нормально распределенной случайной величиной. Среднее значение прибыли составляет 40 млрд. руб, σ=10 млрд. руб. С вероятностью 0,9545 определите симметричный относительно математического ожидания интервал, в котором будет находиться чистая прибыль крупных нефтяных компаний.
Методические указания по выполнению работы:
Пример 23.1.Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности .
Найдите:
а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);
б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;
в) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 6].
Решение:
| № | Теоретический материал для нормального распределения | Пример |
| Распределение вероятностей называется нормальным, если оно задается функцией плотности вероятности вида: где а и σ – параметры. | Данная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а = 8, σ = 2. | |
| График функции плотности вероятности для нормального распределения имеет вид: | ||
| Математическое ожидание | ||
| Дисперсия | ||
| Среднеквадратическое отклонение | ||
| Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как Р(α<x<β) = . Ф(х) – табличная функция Лапласа, Ф(-х) = - Ф(х) | Найдём Р(3<x<6), т.е. α = 3, β = 6. Р(3<x<6) = = = = = = -0,3413 + 0,4938 = 0,1525. |
Пример 23.2.Автомат штампует детали. Контролируемая ширина детали Х распределена нормально с математическим ожиданием (проектной длиной) 50 мм. Известно, что среднеквадратическое отклонение длины детали 3,6 мм.
а) Найдите вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет от 48 до 55 мм.
б) С помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина детали.
Решение. а) Выделим параметры нормального распределения: а = 50 мм, σ = 3,6 мм. Найдем Р(48<x<55), т.е. α=48, β=55 мм.
Воспользуемся формулой: Р(α<x<β) = .
Найдем = ,
= .
Тогда Р(48<x<55) = = 0,4177-(-0,2123) = 0,63.
б) По правилу трёх сигм можно считать практически достоверным, что значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, принадлежат интервалу (a – 3σ, a + 3σ). Следовательно, длина детали будет от до мм, т.е. лежит в промежутке (44,2; 65,8) мм.
Ответ: а) Р(48<x<55) = 0,63, б) (44,2; 65,8) мм.
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.6, с. 136-138.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 96-103.