Виды средних величин, применение простой и взвешенной средней.

Средние величины – это обобщающие показатели, выражающие типичные размеры и количественные соотношения общественных явлений в конкретных условиях места и времени. Правильное понимание сущности средней определяет её особую значимость, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить что-либо общее и закономерное, а также тенденцию закономерностей экономического развития. При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Средняя величина отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Благодаря этому, она имеет большое значение для выявления закономерностей присущих, массовым общественным явлениям и не заметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего – это проявление процесса развития. Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков в целом, необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений и поэтому для их решения требуются различные средние величины.

Рассмотрим порядок вычисления отдельных видов средних величин:

1. Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средней, выделяют:

а) среднюю арифметическую простую, вычисляется в том случае, когда каждая из вариант встречается в изучаемой совокупности один или одинаковое число раз:

,

где – средняя величина;

X – варианты – индивидуальные значения признака в совокупности;

n – число вариант.

б) средняя арифметическая взвешенная вычисляется, когда различные варианты встречаются в изучаемой совокупности неодинаковое число раз, поэтому каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на неё:

,

где f – частоты (веса) – это повторяемость индивидуальных значений признака.

2. Средняя гармоническая применяется при наличии данных об общем объёме (W=Xf) и известных значениях признака (X), но неизвестных частотах (f):

а) средняя гармоническая простая:

б) средняя гармоническая взвешенная:

3. Средняя квадратическая наиболее широко используется при расчёте показателей вариации:

а) средняя квадратическая простая:

б) средняя квадратическая взвешенная:

4. Средняя хронологическая используется для вычисления среднего уровня в моментных рядах динамики с равными отрезками времени между датами:

5. Структурные средние используются в качестве вспомогательных обобщающих характеристик при изучении структуры совокупности, к ним относятся:

· мода – величина признака, чаще всего встречающаяся в совокупности, в дискретном вариационном ряду для её определения не требуется вычислений – модой будет наиболее часто встречающаяся варианта, имеющая наибольший вес, а для интервального вариационного ряда она определяется по формуле:

где – начало (нижняя граница) модального интервала (с наибольшей частотой);

– величина интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота модального интервала;

– частота интервала, следующего за модальным.

· медиана – величина, которая делит численность вариационного ряда на 2 равные части, одна часть имеет значения варьирующего признака меньше, чем средний вариант, а другая – больше:

где – начало (нижняя граница) медианного интервала;

– величина интервала;

– сумма частот всей совокупности;

– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.