Программа курса

 

1. Случайные события. Виды случайных событий. Сумма, произведение случайных событий. Противоположные случайные события.

2. Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности.

3. Вероятность суммы двух несовместных событий. Вероятность противоположного события.

4. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Вероятность произведения независимых событий и событий независимых в совокупности.

5. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий в одном испытании.

6. Общая теорема о вероятности появления хотя бы одного из n произвольных событий.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

8. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях.

9. Формула Пуассона.

10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты появлений события от постоянной вероятности в n независимых испытаниях

11. Случайные величины. Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Операции над случайными величинами. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии.

12. Биноминальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределения.

13. Распределение Пуассона, его математическое ожидание и дисперсия.

14. Простейший поток событий.

15. Функция распределения и ее свойства. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности, ее свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана, квантили, моменты случайных величин, асимметрия и эксцесс).

16. Виды распределений непрерывных случайных величин. Равномерное распределение. Нормальный закон распределения, график нормальной кривой, математическое ожидание и дисперсия нормального закона распределения.

17. Функция Лапласа и ее свойства.

18. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания меньше чем на e.

19. Показательное распределение. Логарифмически-нормальное распределение.

20. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.

21. Системы двух случайных величин. Условные и безусловные законы распределения.

22. Функция распределения двумерной случайной величины. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

23. Основные задачи математической статистики. Виды и способы отбора.

24. Генеральное и выборочное среднее. Генеральная и выборочная дисперсии, формула для вычисления дисперсии. Эмпирическая функция распределения.

25. Групповая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии.

26. Интервальные оценки параметров распределения. Оценка неизвестного математического ожидания нормального распределения случайной величины при известном среднем квадратичном уклонении.

27. Выборочное уравнение регрессии, выборочный коэффициент корреляции.

 

 

Случайные события

 

Теория вероятностей – это наука о закономерностях массовых случайных событий. Событие, которое при воспроизведении некоторого комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита (А, В, С и т.д.). Далее вместо слов «воспроизведен комплекс условий» будем писать «произведено испытание». Событие, которое всегда происходит при проведении испытания, называется достоверным и обозначается U; событие, которое никогда не происходит, называется невозможным и обозначается V.

Пусть имеется пара случайных событий А, В. Событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой и обозначается А+В (иногда А В), событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В называется их произведением и обозначается А ·В (иногда А В).

Событие заключающееся в том, что событие А не произошло называется противоположным событием событию А и обозначается .

Говорят, что событие А влечет за собой событие В, если при появлении события А, обязательно происходит и событие В (обозначается А В).

Если А В и В А, то такие события называются равносильными: А=В.

Пример 1. Два стрелка выстрелили в цель по одному разу. Пусть событие А – попал первый стрелок; событие В – попал второй. Тогда

А+В – цель поражена (попал хотя бы один); А ·В – попали оба;

- первый промахнулся; ·- никто не попал; (очевидно , ) .

При умножении и сложении случайных событий можно поступать точно также, как и при сложении и умножении обычных чисел, только следует иметь в виду следующие формулы:

А ·А = А, А+А = А, А+U = U, А+V = А,

А ·U = А, А ·V = V, = А.

А +В = В +А, А ·В = В ·А,

А + (В + С) = (А + В) + С, А ·(В + С) = А ·В + А ·С.

События А и В называются несовместимыми (несовместными), если их совместное появление невозможно, т.е. А ·В = V.