Вероятность суммы двух событий

 

В случае классического определения вероятности дается способ ее вычисления. В общем случае дать способ вычисления вероятности конечно же нельзя. Тогда постулируют свойства вероятностей случайных событий.

1. Предположим, что имеется некоторое множество случайных событий S:

а) U S, V S;

б) если А, В S, то и А + В S, S, А ·В S,т.е. мы всегда можем говорить о достоверном и невозможном событиях, о противоположных событиях, о сумме и произведении случайных событий.

2. Для любого случайного события А определено некоторое число р = р(А), которое мы называем его вероятностью, причем 0 р(А) 1.

3. р(U) = 1: вероятность достоверного события равна 1.

4. Если события А_1, А_2,…, А_n попарно несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А_i × Аj= V при ij, то р(А₁ + А₂ +…+ A_n) = p(A₁) + p(A₂) +…+ p(A_n).

Все эти аксиомы совпадают с соответствующими свойствами классической вероятности, и в случае классического определения вероятности они могут быть доказаны. Из сформулированных аксиом можно легко получить формулы:

 

Р(А) + Р() = 1, р(V) = 0.

Также нетрудно доказать, что вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

 

p(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ).

(10)

 

Заметим, что эта формула не противоречит аксиоме 4, т.к., если события А и В несовместимы, то р(АВ) = 0.

Пример 7. Два стрелка выстрелили в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.9; вторым – 0.8. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Пусть событие А – в цель попал первый стрелок, В – второй. Тогда событие В + А означает, что цель поражена:

 

Р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) = 0.8 + 0.9 – 0.8 × 0.9 = 0.98.

Эту задачу можно решить и другим способом: