Математическое ожидание и дисперсия

Случайное событие, заключающееся в появлении того или иного числа, называется случайной величиной. Различают два вида случайных величин (с.в.): дискретные и непрерывные. Случайная величина, принимающая отдельные изолированные значения, называется дискретной.

Законом распределения (или просто распределением) называется соответствие между возможными значениями с.в. и вероятностями, с которыми она принимает эти значения. Законы распределения задают различными способами: при помощи формул, в виде таблиц и т.д. случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X, Y и т.д.

Рассмотрим закон распределения дискретной случайной величины:

Таблица 2

X	x₁	x₂	…	x_k	…	x_n
Y	p₁	p₂	…	p_k	…	p_n

Здесь р_k= Вер= Р(читается: вероятность того, что случайная величина примет значение равное x_k). Так как в законе распределения перечислены все возможные значения случайной величины, то следует предполагать, что x_k ¹ x_i при kj, р₁ + р₂ +…+ р_п= 1, и очевидно .

Пример18. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение. Вероятность p того, что по договору будет выплачена страховая сумма равна следовательно, Пусть случайная величина X- число договоров, по которым выплачивается страховая сумма среди наудачу выбранных четырех. Тогда X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Найдем вероятности, соответствующие указанным значениям X:

Таким образом, получим закон распределения случайной величины

X
p	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

Проверка: следовательно, закон распределения составлен правильно.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми она принимает свои возможные значения.

(18)

Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что математическое ожидание примерно равно среднему арифметическому значений, которые принимает случайная величина в результате проведения достаточно большого числа испытаний, т.е., если проведено N испытаний и с.в. значение x₁ приняла N₁ раз, x₂ – N₂ раз, и т.д. x_n –N_n раз, то величина с очень большой вероятностью будет мало отличаться от M(X). (Подробнее об этом смотрите в теме «интервальные оценки параметров распределения», а также [1,2].)

Пример19. В тесто для калорийных булочек добавляют изюм. Определить сколько изюминок попадает в каждую булочку.

Решение. Пусть для изготовления булочек замешивают V кг теста, а на одну булочку используют v кг (например, 0.1 кг). Тогда из одного замеса можно испечь N=V/v булочек. Допустим, что в каждую булочку необходимо положить изюминок (например, =10). Справедливо предположение, что в каждую булочку изюминка может попасть независимо от других. Введем случайную величину X - число изюминок в булочке. Случайная величина X распределена по биноминальному закону (14):

Вер{X=m}=P_n(m)=,

где p = 1/N = v/V, q =1-p, n =N, m=0,1,…,n,

где = np.

Предположим, что N большое число, тогда вероятность p мала..

При больших значениях n пользоваться формулой (14) затруднительно. Например, при N=200, вероятность того, что в данную булочку попадет ровно 9 изюминок равна

P₂₀₀(9)==.

Расчеты существенно упрощаются, если рассмотреть предельный случай, когда n, а = np остается постоянным числом (на практике это соответствует тому, что вероятность появления случайного события мала, а число испытаний велико). В этом предельном случае распределение вероятностей подчиняется формуле Пуассона (16).

Используя формулу (14), получим P₂₀₀(9)=0.12768; по формуле (16) находим P₂₀₀(9)=0.12511. Таким образом, ошибка при использовании формулы Пуассона в данном случае равна 0.002.

Закон распределения Пуассона имеет вид:

X			…	m	…
P	.	.		.

Дисперсией называется математическое ожидание от квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(19)

Справедлива формула для вычисления дисперсии:

(20)

где Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания).

Свойства математического ожидания и дисперсии:

1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама постоянная:

М(С) = С.

2. Константу можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х).

Здесь закон распределения с.в. СХ получается из закона распределения с.в. Х умножением ее возможных значений на постоянную С, т.е. если с.в. определена законом распределения, представленном в таблице 1., то СХ определяется следующей таблицей:

Таблица 3

X	Cx₁	Cx₂	…	Cx_k	…	Cx_n
P	p₁	p₂	…	p_k	…	p_n

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Свойства дисперсии непосредственно следуют из соответствующих свойств математического ожидания:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат:

D(C X) = C²D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X +Y) = D(X) + D(Y),

где X и Y независимы (случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая с.в.).

Важным примером распределения дискретной случайной величины является биноминальное распределение. Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из испытаний постоянна и равна p. Производится n независимых испытаний. Случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Возможными значениями с.в. Х, распределенной по биноминальному закону, являются все целые числа от 0 до n. Величина Вер{Х = k} – вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз – вычисляется по формуле Бернулли.

(21)

где q = 1 – р.

Введем в рассмотрение случайные величины Х_i, i = 1,2,… n-число появлений события А в i-испытании. Тогда Х = Х₁ + Х₂ + …+ Х_n – общее число появлений события А в n независимых испытаниях – равно сумме числа появления события А в каждом из n испытаний. Случайные величины Х_i, i = 1,2,…, n принимают только два значения: 0 – с вероятностью q и 1 – с вероятностью p.

Следовательно,

Далее,

(22)

а так как случайные величины X_i независимы, то

(23)

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А, а дисперсия равна произведению числа испытаний на вероятность появления события А и на вероятность его не появления.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной, имеющей распределение Пуассона:

M(X)=m =, D(X)=m² -=.

Пример19. Пусть некоторая случайная величина распределена по закону Пуассона. По результатам наблюдаемых значений 2; 1; 1; 3; 1; 4; 2; 5; 1; 7 найти неизвестный параметр случайной величины.

Решение. Математическое ожидание M(X) случайной величины есть ее среднее значение. Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона

Пример 20. Бросаются две игральные кости. Случайная величина Х – число очков, выпавших на первой игральной кости; Y – на второй; Z – суммарное число очков, выпавших на двух игральных костях. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х, Y, Z.

Решение. Закон распределения с.в. Х задается таблицей:

Таблица 4

X
Р

Законы распределения с.в. X и Y совпадают, т.е. X = Y, а Z = X + Y. Заметим, что Z = X + Y ¹ 2·X (!!) .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию с.в. Z, пользуясь законом распределения, заданным в таблице 1:

Пример 21. Из ящика, содержащего 3 черных и 5 белых шаров, наудачу извлекается 4 шара. Случайная величина Х – число вытащенных белых шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию с.в. Х.

Решение. Построим закон распределения с.в. Х. Она может принимать любое значение от 1 до 4.

Таблица 5

X
P	p₁	p₂	р₃	р₄

Для того, чтобы понять, что представляет собой сумма случайных величин, рассмотрим следующий пример.

Пример 22. Производится стрельба из трех орудий. Первое попадает при каждом выстреле с вероятностью 0.8, второе - 0.5, третье - 0.6. Все орудия выстрелили по одному разу. Случайная величина X - число снарядов, попавших в цель. Требуется построить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. Введем обозначения: A - cобытие, заключающееся в том, что первое орудие попало в цель, B - второе орудие попало в цель, C - третье. Далее находим
P(X=0)=P

P(X=1)=P

P(X=2)=P

P(X=3)=P

Закон распределения нашей случайной величины имеет вид:

X
P	0.04	0.26	0.46	0.24

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

M(X)=

D(X)=M()-=

Введем в рассмотрение следующие случайные величины: X₁- число снарядов, попавших в цель из первого орудия, X₂- число снарядов, попавших в цель из первого орудия,

X₃- число снарядов, попавших в цель из первого орудия. Законы распределения этих случайных величин имеют вид:

X₁				X₂				X₃
P	0.2	0.8		P	0.5	0.5		P	0.4	0.6

M(X₁)=

D(X₁)=M()-M²(X₁)=

Аналогично находим M(X₂) = 0.5; M(X₃) = 0.6; D(X₂) = 0.25; D(X₃) = 0.24.

Нетрудно видеть, что X=X₁+X₂+X₃, следовательно

М(X)= M(X₁)+ M(X₂)+ M(X₃)=0.8+0.5+0.6=1.9.

Так как случайные величины X₁, X₂, X₃ независимы, то

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+ D(X₃)=0.16+0.25+0.24=0.65.

Предположим, что из первого орудия выстрелили 100 раз, из второго -200, из третьего-250 раз, случайная величина X число попаданий в цель. Построить закон распределения такой случайной величины сложно, так как она может принимать очень много значений. возможные значения- любое число от 0 до 550. Однако M(X)=D(X)=среднее квадратичное отклонение Полученный результат можно интерпретировать следующим образом (приближенно)- в цель попадет 550 снарядов ‘плюс минус’ 11.