Независимость событий

Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что

Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы слу­чаев оно доказывается) умножения вероятностей. Это правило обоб­щается на случай п событий:

P(A₁ • А₂×... • А_n) =

Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂) •... × Р(А_n\А₁× А₂×… A_n-1). (1.23)

Так для 3-х событий A₁, А₂, А₃ получаем

P(A₁× А₂ × А₃) = Р((A₁× А₂)× А₃) = Р(А₁×А₂) × Р(А₃çА₁ • А₂)=

Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂).

Пример 1.26. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шар будет белым, 2-й — синим, 3-й — черным?

Введем следующие события: A₁ — первым вытащили белый шар, А₂ — вторым — синий, А₃ — третьим — черный. Тогда интересую­щее нас событие А представится в виде А= A₁× А₂ × А₃ . По прави­лу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂). Но Р(А₁)=; Р(А₂çА₁)= , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃çА₁ • А₂) = , так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, P(A)=

Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение, независимы.

Событие А называется независимым от события В, если его услов­ная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство

Р(А|В) = Р(А). (1.24)

Лемма 1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Из равенства (1.22), с учетом равенства (1.24), следует Р(В|А) = т.е.

Р(ВçА) = Р(В), (1.25)

а это означает, что событие В не зависит от события А.

Можно дать следующее (новое) определение независимости собы­тий.

Два события называются независимыми, если появление одного из

них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей (1.22) принимает вид:

Р(А×В) = Р(А)×Р(В). (1.26)

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна про­изведению вероятностей этих событий.

Равенство (1.26) часто используют в качестве определения (еще од­ного!) независимости событий: события А и В называются независимы­ми, если Р(А × В) = Р(А) × Р(В).

Можно показать, что если события А и В независимы, то незави­симы события и В, А и , и .

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей».

Понятие независимости может быть распространено на случай n событий.

События А₁, А₂, … ,А_п называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂, … ,А_п называются зависимыми.

Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, и формула (1.23) упрощается

Р(А₁× А₂× … ×А_n) = Р(А₁) ×Р(А₂) •... • Р(А_n). (1.27)

Из попарной независимости событий А₁, А₂, … ,А_n (любые два и них независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно).

Убедимся в этом, рассмотрев следующий пример.

Пример 1.27.Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бел голубого). Исследовать на независимость события: К — выбранный флаг имеет красный цвет, Г — имеет голубой цвет; Б — имеет белый цвет.

Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому Р(К)=. Аналогично находим, что Р(Г) = Р(Б) = . Событию К×Г — выбран флаг, имеющий 2 цвета (красный и голубой), — благоприятствует один исход. Поэтому, Р(К • Г) = . И так как Р(К • Г) === Р(К) • Р(Г) , то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости: событий К и В, Б и Г. Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как Р(К × Г • Б) = ≠ Р(К) • Р(Г) • Р(Б) = , то события К, Г и Б не являются независимыми в совокупности.