Формула Бернулли

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в

определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n). Обозначается искомая вероятность так: P_n(m) или P_n,_m или Р(m_п = m), где m_п — число появления события А в серии из п опытов.

Например, при бросании игральной кости 3 раза Р₃(2) означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А - - выпадение цифры 4 — произойдет 2 раза. Очевидно,

Р₃(2) = p²q + p²q + p²q = = [{А,А, );{А, ,А)( ,А,А}]=

3p²q =0,069.

Теорема 1.4. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 — р, то вероятность того, что событие А произойдет т раз определяется формулой Бернулли

P_n(m)=×p^m×q^n-m, т=0,1,2,…,n. (1.32)

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие А в п независимых опытах появится т раз в первых т опытах и не появится (n — т) раз в остальных опытах (это событие ) по теореме умножения вероятностей равна p^mqⁿ^-^m. Вероятность появления события А снова т раз, но в другом порядке (например, или Аи т. д.)

будет той же самой, т. е. p^mqⁿ^-^m.

Число таких сложных событий — в п опытах т раз встречается событие А в различном порядке — равно числу сочетаний из п по m, т. е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т. е.

P_n(m)= =×p^m×q^n-m, m =0, l,...,n.

Можно заметить, что вероятности Р_п(т), m= 0,1,..., n являются коэффициентами при х^m в разложении (q + рx)ⁿ по формуле бинома Ньютона:

(q+рх)^п = qⁿ + qⁿ^-1 px + qⁿ^-2 p² x² + ... + ×qⁿ^-^m p^m x^m+ ... + pⁿxⁿ.

Поэтому совокупность вероятностей Р_п(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей (см. п. 2.7), а функцию j(x) = (q + рх)^п — производящей функцией для последовательности независимых опытов.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события A разные, то вероятность того, что событие А наступит т раз в п опытах, равна коэффициенту при m-й степени многочлена j_n(z) = (q₁ + p₁x)( q₂ + p₂x) • ... • (q_n + p_nx), где j_n(z) - производящая функция.

Если в серии из п независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий А₁, А₂, … ,А_k с соответствующими вероятностями p₁, p₂, ..., p_k , то вероятность того, что в этих опытах событие А₁ появится m₁ раз, событие А₂— m₂ раз, ..., событие А_k — m_k раз, равна

P_n(m₁,m₂,...,m_k )= (1.33)

где m₁+m₂+...+m_k = n. Вероятности (1.33) называются полиномиальным распределением.

Пример 1.31. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решить задачу в случае, если вероятность попадания при разных выстрелах различны: p₁ = 0,7, p₂ = 0,8, p₃ = 0,9

В данном случае n = 3, р = 0,9, q = 0,1. Пользуясь формулой Бернулли (1.32), находим:

а) Р₃(0) = • 0,9⁰ • 0,1³ = 0,001 — вероятность трех промахов;

б) Р₃(1) = • 0,9¹ • 0,1² = 3 • 0,9 • 0,01 = 0.027 — вероятность однокй попадания;

в) Р₃(2) = • 0,9² • 0,1¹ = 3 • 0,81 • 0,1 = 0,243 — вероятность двух попаданий;

г) Р₃(3) = • 0,9³ • 0,1⁰ = 0,9³ = 0,729 — вероятность трех попаданий.

Эти результаты можно изобразить графически, отложив на оси Ох- значения m, на оси Оy — значения Р_n(m) (рис. 14)

Р_п(т)

Рис. 14

Ломаная, соединяющая точки (0; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729), называется многоугольником распределения вероятностей.

Если вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид j₃(z) = (0,3 + 0,7z)(0,2 + 0,8z)(0,l + 0,9z) = 0,504z³ + 0,398z² + 0,092z + 0,006. Откуда находим вероятность трех, двух, одного попаданий, промаха соответственно: Р₃(3) = 0,504, Р₃(2) = 0,398, Р₃(1) = 0,092, Р₃(0) = 0,006. (Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.)