Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x1, x2, x3,…,xn,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью pi, где i = 1,2,3, ...,n,… . Закон распределения д. с. в. Удобно задавать с помощью формулы pi = Р{Х = xi }, i = 1,2,3,... ,n,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение xi. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы, распределения:
X | x1 | x2 | …. | xn | … |
P | p1 | p2 | …. | pn | … |
гдепервая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) св., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Так как события {X = x1}, {X = x2} … несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12), т.е. . Закон распределения д. с. в. можнозадать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки ( x1, p1), (x2, p2) называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).
Рис. 17
Теперь можно дать более точное определение д. с. в.
Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x1, x2, ... таких, что Р{Х = xi} = pi > 0 (i = 1,2,...) p1 + p2+ p3 +…=1.
Определим математические операции над дискретными с. в.
Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения xi с вероятностями pi = Р{Х = xi }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, принимающей значения yj с вероятностями pi = Р{Y = yj }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X + Y (Z = X — Y, Z = X × Y), принимающая значения zij = xi + yj (zij= xi – yj, zij = xi × yj ) с вероятностями pij = Р{ Х = xi ,Y = yj }, для всех указанных значений iи j. В случае совпадения некоторых сумм xi + yj (разностей xi – yj, произведений xi × yj)соответствующие вероятности складываются.
Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения с xi , с вероятностями рi = Р{Х = xi }.
Две д. с. в. X и Y называются независимыми, если события {X = xi } = Аi и {Y = yj } = Вj независимы для любых I= 1,2,... ,n; j = l,2,...,m, т.е.
P{X = xi ;Y = yj } =P{X = xi } ×P {Y = yj }
В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Пример 2.1.В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Возможные значения с. в. X — числа белых шаровв выборке есть x1= 0, x2 = 1, x3 = 2, x4= 3. Вероятности их соответственно будут р1 = Р{Х = 0} = , р2 = Р{Х = 1} = , р3 = Р{Х = 2} = , р4 = Р{Х = 3} = , Закон распределения запишем в виде таблицы.
X | ||||
Р |
(Контроль: =1)