Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или D[Х], DX, D(X)). Таким образом, по определению
DX = М(Х - MX)2 (2.12)
или DX = MX2, или DX = М(Х — mX)2- Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:
DX = — для д. с. в. X, (2.13)
DX = — для н.св. X. (2.14)
На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле
DX = MX2 –(MX)2. (2.15)
Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х2-2Х×МХ + (МХ)2) = MX2 - М(2Х×MX) + М(МХ)2 = MX2 - 2МХ • MX + (MX)2 = MX2 - (MX)2.
Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:
DX = (2.16)
DX = (2.17)
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е.
Dc = 0.
Dc = M(c-Mc)2 = M(c-c)2 = M0 = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т. е.
DcX = c2DX.
DcX = M(cX-M(cX))2 = M(cX-cMX)2 = M(c2(X-MX)2) = c2M(X - MX)2 = c2DX.
3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то
D(X + Y) = DX + DY.
Используя формулу (2.15), получаем D(X + У) = M(X + У)2 -(М(Х+У))2 = MX2 + 2MXY + MY2-(MX)2-2MX×MY-(MY)2 = MX2 - (MX)2 + МУ2 - (МY)2 + 2(МХУ - MX • MY) = DX + DY + 2(МХ • MY - MX • МУ) = DX + DY.
Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то
D(X + У) = DX + DY + 2М((Х - MX) • (У - МУ)).
4. Дисперсия с.в. не изменится, если к этой с.в. прибавить постоянную, т. е.
D(X + с) = DX.
D(c + X) = M((с + X) - М(с + X))2 = М(Х - MX)2 = DX.
5. Если св. X и У независимы, то
D(XY) = MX2 ■ MY2 - (MX)2 • (MY)2.
Доказательство свойства 5 не приводим. ■
Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с.в.