Дисперсия

Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи­дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия через DX (или D[Х], DX, D(X)). Таким образом, по определению

DX = М(Х - MX)2 (2.12)

или DX = MX2, или DX = М(Х — mX)2- Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения диспер­сии следуют формулы для ее вычисления:

DX = — для д. с. в. X, (2.13)

DX = — для н.св. X. (2.14)

На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле

DX = MX2 –(MX)2. (2.15)

Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х2-2Х×МХ + (МХ)2) = MX2 - М(2Х×MX) + М(МХ)2 = MX2 - 2МХ • MX + (MX)2 = MX2 - (MX)2.

Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:

DX = (2.16)

DX = (2.17)

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е.

Dc = 0.

Dc = M(c-Mc)2 = M(c-c)2 = M0 = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возве­дя его в квадрат, т. е.

DcX = c2DX.

DcX = M(cX-M(cX))2 = M(cX-cMX)2 = M(c2(X-MX)2) = c2M(X - MX)2 = c2DX.

3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то

D(X + Y) = DX + DY.

Используя формулу (2.15), получаем D(X + У) = M(X + У)2 -(М(Х+У))2 = MX2 + 2MXY + MY2-(MX)2-2MX×MY-(MY)2 = MX2 - (MX)2 + МУ2 - (МY)2 + 2(МХУ - MX • MY) = DX + DY + 2(МХ • MY - MX • МУ) = DX + DY.

Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то

D(X + У) = DX + DY + 2М((Х - MX) • (У - МУ)).

4. Дисперсия с.в. не изменится, если к этой с.в. прибавить постоян­ную, т. е.

D(X + с) = DX.

D(c + X) = M((с + X) - М(с + X))2 = М(Х - MX)2 = DX.

5. Если св. X и У независимы, то

D(XY) = MX2 ■ MY2 - (MX)2 • (MY)2.

Доказательство свойства 5 не приводим. ■

Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с.в.