Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.
Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).
Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одновременно) .
Разностью событий А и В называется событие С = А — В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.
Противоположным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. А означает, что событие А не наступило).
Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А. следует, что происходит событие В; записывают А Í В.
Если А Í В и В Í А, то события А и В называются равными; записывают А = В.
Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = {2,4,6}, Е = {3.4.5.6}. А = {5}, D = {1,2,3.4,5.6}. Тогда: В + Е = {2,3,4.5.6}. BE = {4,6}, В-Е = {2}, А= {1.2,3,4,6}, В ÍD, D =Ώ = {1.2.3.4.5.6}.
События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ώ изображается прямоугольником; элементарные случайные события — точками прямоугольника; случайное событие — областью внутри него.
Действия над событиями можно изобразить так как показано на рис. 1-5.
Операции над событиями обладают следующими свойствами:
А + В = В + А, А В = В А (переместительное);
(А + В)С = АС + ВС, АВ + С = (А + С)(В + С) (распределительное) ;
(А + В) + С = А +(В + С), (АВ)С = А(ВС) (сочетательное);
А + А = А, А • А=А
А + Ώ = Ώ, А-Ώ = А;
А + А = Ώ.,А-А=Æ;
Æ =Ώ, Ώ = Æ, А = А;
А - В = А • В; _____
А + В = АВ и АВ = А + В — законы де Моргана.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Пример 1.2.Доказать формулу А + В = А + АВ.
Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем:
А+В = (А + В)Ώ = АΏ + ВΏ= AΏ + B(A+'A) = АΏ + (А+А)В = AΏ + AB + AB = (Ώ + B)A + AB = ΏA + A-.B = A +АВ.
Таким образом, сумму любых двух событий можно представ виде суммы двух несовместных событий.
Геометрическое доказательство представлено на рис. 6.
Рис. 6