Действия над событиями

Введем основные операции над событиями; они полностью соответ­ствуют основным операциям над множествами.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одно­временно) .

Разностью событий А и В называется событие С = А — В, про­исходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Противоположным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. А означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А. следует, что происходит событие В; записывают А Í В.

Если А Í В и В Í А, то события А и В называются равными; записывают А = В.

Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = {2,4,6}, Е = {3.4.5.6}. А = {5}, D = {1,2,3.4,5.6}. Тогда: В + Е = {2,3,4.5.6}. BE = {4,6}, В-Е = {2}, А= {1.2,3,4,6}, В ÍD, D =Ώ = {1.2.3.4.5.6}.

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ώ изобража­ется прямоугольником; элементарные случайные события — точками прямоугольника; случайное событие — областью внутри него.

Действия над событиями можно изобразить так как показано на рис. 1-5.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

А + В = В + А, А В = В А (переместительное);

(А + В)С = АС + ВС, АВ + С = (А + С)(В + С) (распреде­лительное) ;

(А + В) + С = А +(В + С), (АВ)С = А(ВС) (сочетательное);

А + А = А, А • А=А

А + Ώ = Ώ, А-Ώ = А;

А + А = Ώ.,А-А=Æ;

Æ =Ώ, Ώ = Æ, А = А;

А - В = А • В; _____

А + В = АВ и АВ = А + В — законы де Моргана.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

 

 

 

В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Пример 1.2.Доказать формулу А + В = А + АВ.

Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем:

А+В = (А + В)Ώ = АΏ + ВΏ= AΏ + B(A+'A) = АΏ + (А+А)В = AΏ + AB + AB = (Ώ + B)A + AB = ΏA + A-.B = A +АВ.

Таким образом, сумму любых двух событий можно представ виде суммы двух несовместных событий.

Геометрическое доказательство представлено на рис. 6.

Рис. 6