Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравни­тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение (сокращенно: с. к. о.).

Средним квадратическим отклонением или стандартным откло­нением с. в. X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозна­чают через σх (или σХ, σ[Х), σ). Таким образом, по определению

σ_х = . (2.18)

Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с. к. о.: σс =0, σ_сХ =|с|σ_х, σ(с + X) = σ_Х

Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбо­ра масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее центрируют, т. е. записывают разность X — MX (геометрически озна­чает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной

м. о.), затем делят на с. к. о. σ_Х.

Случайную величину Z называют стандартной слу­чайной величиной. Ее м. о. равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,

MZ=M()=M(X-MX)=0,

DZ=D(X-MX)= =1

То есть Z — центрированная (MZ = 0) и нормированная (DZ = 1) случайная величина.

Пример 2.5.Д.с.в. X задана рядом распределения.

X	-1
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти MX, DX, σ_x-

Используем формулы (2.9), (2.13), (2.18): MX = -1 • 0,2 + 0 • 0,1 + 1×0,3 + 2×0,4 = 0,9; DX = (-1-0,9)²×0,2 + (0-0,9)²×0,1 + (1-0,9)²×0,3 + (2-0,9)²×0,4 = 1,29 (или, используя формулу (2.16), DX = (-1)²×0,2+ 0² • 0,1 + 1² • 0,3 + 2² • 0,4 - (0,9)² = 1,29); σ_х = ≈ 1,14.