Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через M0X. Для н.с.b. M0X — точка максимума (локального) плотности fx(x).
Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимодальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).
Рис. 23
Медианой МеХ н.с.в. X называется такое ее значение хр, для которого
Р{Х < хр} = Р{Х > хр} =, (2.19)
т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше хр или больше хр (рис. 23).
С помощью функции распределения F(x) равенство (2.19) можно записать в виде F(MeX) = 1 - F(MeX). Отсюда F(MeX) = .
Для д. с. в. медиана обычно не определяется.
Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий — моментов с. в.
Начальным моментом порядка к св. X называется м.о. k-й степени этой величины, обозначается через αк.
Таким образом, по определению
αк = М(Хк).
Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:
αк =
а для н. с. в. — интегралом:
αк =
В частности, α1=MX, т.е. начальный момент 1-го порядка есть м.о. Центральным моментом порядка k с. в. X называется м.о. величины (X — МХ)k, обозначается через μk.
Таким образом, по определению
μк = М(Х - МХ)k.
В частности, μ2=DX, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; μ1 = М(Х — MX) =0 (см. свойство 4 м.о.).
Для д. с. в.:
μк =
а для н. с. в.:
μк=
Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так. Μ2 = DX = α2— α12 (действительно: μ2 = DX = MX2 — (MX)2 = α2 — α12); μ3= α3 — 3 α1 α2 + 2 α13, μ4 = α4 - 4 α1 α3 + 6 α12 α2 — 3 α14 и т. д.
Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.
Коэффициентом асимметрии («скошенности») A с.в. X называется величина
А=
Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от M0X (рис. 24).
Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от M0X (рис. 25).
Коэффициентом эксцесса («островершинности») Е с. в. X называется величина
E=
Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).
Кроме рассмотренных выше числовых характеристик св., в приложениях используются так называемые квантили.
Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения
FX(xP) =p,
где р — некоторое число, 0 < р < 1.
Квантили x0,25, x0,5 и x0,75 имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (МеХ = x0,5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0, 25 (рис. 27).