Числовые характеристики статистического распределения

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, ана­логичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).

Пусть статистическое распределение выборки объема n имеет вид:

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

(6.3)

 

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

(6.4)

 

Выборочное среднее можно записать и так:

(6.5)

где p^*_i =— частость. Для обозначения выборочного среднего иcпользуют следующие символы: , М*(Х), m*_х.

Отметим, что в случае интервального статистического ряда в равенстве (6.4) в качестве x_i берут середины его интервалов, a n_i — соответствующие им частоты.

Выборочной дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней т.е.

(6.6)

или, что то же самое,

(6.7)

Можно показать, что D_B может быть подсчитана также по формуле

, то есть (6.8)

здесь .

Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется формулой

(6.9)

Особенность выборочного с. к. о. (s_в) состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

При решении практических задач используется и величина

(6.10)

(6.11)

которая называется исправленной выборочной дисперсией (см. далее п. 7.1).

Величина

(6.12)

называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.

Для непрерывно распределенного признака формулы для выбо­рочных средних будут такими же, но за значения х₁, х₂,…, х_k надо брать не концы промежутков [х₀, х₁), [х₁, х₂), …, а их середины

В качестве описательных характеристик вариационного ряда, x(₁)

x(₂), … , x(_n) (или полученного из него статистического распределения выборки (6.3)) используется медиана, мода, размах вариации (выбор­ки) и т.д.

Размахом вариации называется число R = x(_n) — x(₁),где x(₁) =, x(_n)= или R = x_max—x_min, где x_mах — наибольший, x_min — наименьший вариант ряда.

Модой М₀* вариационного ряда называется вариант, имеющий наи­большую частоту.

Медианой М_e* вариационного ряда называется значение признака (св. X), приходящееся на середину ряда.

Если п = 2k (т. е. ряд x(₁), x(₂),…, x(_k), x(_k+1),..., x(_2k), имеет четное число членов), то М_e* =; если п = 2к + 1, то М_e* = x(_k+1)

Пример 6.7.По условию примера 6.2 из п. 6.3 найти характеристики выборки — результаты тестирования 10 абитуриентов.

Используя формулы (6.4)-(6.12) и определения из п. 6.5, находим: (0 • 1 + 1 • 2 + ... + 5 • 3) = 3,

D_B = ((0 - 3)² • 1 + (1 - 3)² • 2 + ... + (5 - 3)² • 3) = 3.2,

s_B = 1.79,

S² = • 3,2≈3.56.

S = 1,87, R = 5 -0 = 5, М₀* = 5,

М_e*==3.5.