Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероят­ностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть Ώ — множество всех возможных исходов некоторого опы­та (эксперимента), S — алгебра событий. Напомним (см. п. 1.4), что совокупность S подмножеств множества Ώ называется алгеброй (σ-алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. S содержит невозможное и достоверное события.

2.Если события А₁, A₂, А₃, ... (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для А_i) этих событий.

Вероятностью называется функция P(А), определенная на алгеб­ре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворя­ющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А Î S неотрицательна, т. е.

Р(А) ≥ 0.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т. е.

Р(Ώ) = 1.

A3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных собы­тий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А _i× A _j = 0

(i≠j), то

 

Совокупность объектов (Ώ, S, Р), где Ώ — пространство элементар­ных событий, S — алгебра событий, Р — числовая функция, удовлетво­ряющая аксиомам Al-А3, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью лю­бого случайного явления; заданием этого пространства завершается ак­сиоматика теории вероятностей.