Поняття похідної, її властивості

Означення. Нехай задана на інтервалі . Візьмемо деяку точку і додамо їй приріст так, щоб . Якщо існує скінчена границя , то її називають похідноюфункції в точці . Якщо така границя існує в кожній точці , то вона називається похідною від функції на . Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

Для позначення похідної в точці використовуються символи:

.

Правила диференціювання:

1. Якщо функції і диференційовані в точці , то в точці диференційовані і функції , , , , та справедливі формули:

§ ;

§ ;

§ ;

§ .

2. Якщо диференційована в точці , тоді складна функція диференційована в точці і справедлива формула:

,

тобто похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції .

Зауваження. Правило знаходження похідної складної функції поширюється на композицію будь-якого скінченого числа функцій. Наприклад, для обчислення похідної функції , якщо , , диференційовані, справедлива формула:

.

Наведемо таблицю похідних основних елементарних функцій:

Функція	Похідна
,
,

Розглянемо розв’язання прикладів.

Приклад 1.12.1.Знайти похідну функції .

Розв’язання. Користуючись таблицею похідних і властивостями похідних, маємо:

.

Приклад 1.12.2. Знайти похідну .