МАТЕМАТИКА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ

УКРАЇНИ

Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

 

Кафедра вищої і прикладної математики

 

 

Т.О. Фоміна

 

 

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для практичних занять

для студентів

напряму підготовки «Економіка підприємства»

 

ДонНУЕТ

Донецьк

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ

Імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

Т.О. Фоміна

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Для практичних занять для студентів

напряму підготовки «Економіка підприємства»

 

 

Затверджено

На засіданні кафедри

Вищої і прикладної математики

Протокол № від .03.2013 р.

 

 

Схвалено навчально-методичною

Радою ДонНУЕТ

Протокол № від

 

ДонНУЕТ

Донецьк

УДК 51(076.5)

ББК 22.1я73

Ф 76

Рецензенти:

О.К. Щетініна – доктор фіз.-мат. наук, професор;

С.В. Скрипник – канд. фіз.-мат. наук, доцент

 

 

Фоміна Т.О.

    Методичні вказівки призначені для використання під час проведення практичних занять та організації самостійної роботи…

ББК 22.1я73

 

Ó Фоміна Т.О., 2013 Ó Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, 2013

 

ЗМІСТ

	вступ…………………………………………………………………….
	Змістовий модуль 1…………………………………………………… 1.1. Поняття числової матриці................................................................ 1.2. Визначники квадратних матриць..................................................... 1.3. Ранг матриці....................................................................................... 1.4. Обернена матриця............................................................................. 1.5. Матричні рівняння............................................................................ 1.6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 1.7. Приклади застосування алгебри матриць в економіці.................. 1.8. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати.................................................. 1.9. Рівняння прямої на площині............................................................ 1.10.Рівняння прямої і площини в просторі........................................... 1.10. Поняття границі послідовності і границі функції, властивості................................................................... 1.12. Диференціальне числення функцій однієї змінної...................... 1.13. Застосування диференціального числення до дослідження функцій однієї змінної............................................................................
	Змістовий модуль 2…………………………………………………… 2.1. Невизначений інтеграл, властивості............................................... 2.2. Визначений інтеграл, властивості................................................... 2.3. Основні методи інтегрування........................................................... 2.4. Інтегрування раціональних функцій............................................... 2.5. Інтегрування тригонометричних функцій...................................... 2.6. Невласний інтеграл........................................................................... 2.7. Диференціальні рівняння першого порядку................................... 2.8. Однорідні і лінійні рівняння першого порядку.............................. 2.9. Диференціальні рівняння другого порядку із сталими змінними.................................................................................................... 2.10. Числові ряди.................................................................................... 2.11. Достатні ознаки збіжності.............................................................. 2.12. Степеневі ряди. Інтервал збіжності...............................................
	Завдання для самостійної роботи……………………………………
	Література………………………………………………………………

ВСТУП

 

В практичній діяльності людини математика використовується з моменту її зародження. Довгий час розвиток математики визначався в основному потребами природничих та технічних наук. І лише в останній час математичне моделювання процесів та явищ поступово проникло в нові сфери наукових знань: техніку, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки, зокрема, економіку, соціологію, політологію.

Сучасний стан економіки України, розвиток її наукової бази потребує вирішення складних теоретичних і практичних завдань, які вимагають створення якісно нових напрямів економічної теорії та суміжних наукових дисциплін тісно пов’язаних з нею. Це зумовлює необхідність розробки нових навчальних технологій та методів, що дають змогу формувати у студентів принципово нове сучасне мислення щодо розуміння процесів, які відбуваються в економіці України, а також науково обґрунтованого коригування та управління ними на будь-якому рівні ієрархії, складності та організації. Зрозуміло, що все це неможливо без використання різноманітного математичного апарату.

Комерційні розрахунки, обчислення пов’язані з кредитними відносинами, роботою банків та бірж, прогнозуванням та ризиком, не можна здійснювати тільки за допомогою елементарної математики. Сучасні економічні відносини, сучасний бізнес потребують і сучасного економічного мислення, яке базується на спеціальних математичних методах.

В сучасній економіці вища математика виступає у якості необхідного інструменту, за допомогою якого підприємець може вибрати найкращий варіант дії з багатьох можливих. Доход, прибуток, податок, дивіденд, рентабельність – все це цифри, та для їх розрахунку без вищої математики не можна обійтись.

Знання, які отримані при вивченні курсу вищої математики, є базовими, на які опираються такі математичні курси як теорія ймовірностей, математичні методи дослідження операцій, а також і ряд економіко-математичних дисциплін. Зокрема, економіко-математичні методи та моделі: оптимізаційні методи та моделі, економетрика.

Ці вказівки підготовлені відповідно до програми з навчальної дисципліни „Математика для економістів (загальний курс)” та кредитно-модульної системи для студентів денної форми навчання спеціальності „Економіка підприємства”.

Перехід до кредитно-модульної системи навчання диктує певну реорганізацію учбового процесу. У зв’язку з тим, що відбувається певне зменшення аудиторних занять при незмінному обсязі учбового матеріалу, однією з головних форм праці є самостійна робота студентів. Тому у кожному розділі посібника стисло наводиться теоретичний матеріал, методика розв’язання задач, конкретні приклади розв'язання економічних задач та багатьох задач для аудиторної та самостійної роботи студентів.

Важливою складовою учбового процесу є контроль роботи студентів. Необхідно проводити опитування по теоретичному матеріалу, колоквіуми, перевірку домашніх завдань, захист студентами індивідуальних робіт, і наприкінці, складання конкретного модуля. Для проведення цієї роботи в посібнику наведено комплекс індивідуальних завдань для кожного студента.

Мета вказівок – надати студентам системний погляд на використання різних розділів вищої математики для розв’язання економічних задач та підготувати базу для успішного подальшого вивчення студентами таких дисциплін, як «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Математичне програмування», «Економетрика», «Макроекономіка», «Мікроекономіка», «Статистика» та інші.

Використання цієї розробки, автор сподівається, надасть суттєву допомогу як викладачам, так і студентам в їх роботі по вивченню «Математики для економістів».

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1

Поняття числової матриці

Означення. Прямокутна таблиця чисел, яка містить рядків та стовпців, називається числовою матрицею розміру (або порядку ). Матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад .… У загальному вигляді матрицю розміру можна записати так:

Дії над матрицями

Означення.Добутком матриці на число називається матриця , елементи якої для всіх де ; є . (1.1.7) Наприклад, якщо , то .

Розв'язання.

. Означення. Добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої… , ; (1.1.9)

Властивості множення матриць

Розв'язання. Множення цих матриць визначено, тому що число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці(дорівнює 2). Відповідно до формули (1.1.9)… ; ;

Визначники квадратних матриць

Означення.Визначник – це число, яке обчислюється за певним правилом. Визначник матриці називають також детермінантом і позначають , або , а замість… , . (1.2.1) Означення.Визначником матриці першого порядку називається число, яке дорівнює елементу :

Властивості визначників

1. При транспортуванні матриці значення її визначника не змінюється.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці знак її визначника змінюється на протилежний, а його абсолютне значення не змінюється.

3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) матриці містять загальний множник, то його можна виносити за знак визначника.

4. Визначник, що має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) матриці дорівнюють нулю, то її визначник дорівнює нулю.

6. Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпця) матриці є сумою двох доданків, то її визначник можна обчислити, як суму

7. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця) помножені на деяке число.

8. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку визначників цих матриць.

Деякі правила обчислення визначників

Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою: (1.2.4) Необхідно запам’ятати, що для добутків елементів, які розташовані на головній діагоналі та на паралелях до головної…

Розв’язання

; б) ;

Ранг матриці

Означення.Рангом матриці називається найвищий порядок її мінорів, відмінних від нуля. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то говорять, що ранг матриці… .

Властивості рангу матриці

1. При транспонуванні ранг матриці не змінюється.

2. Ранг матриці не змінюється при перестановці її стовпців (рядків).

3. Ранг матриці не змінюється при множенні всіх елементів її стовпця (рядка) на ненульове число.

4. Ранг матриці не змінюється, якщо до одного із її стовпців (рядків) додати інший стовпець (рядок), помножений на ненульове число.

5. Ранг матриці не змінюється, якщо убрати з неї нульовий стовпець (рядок).

6. Ранг матриці не змінюється, якщо убрати з неї стовпець (рядок), який є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Методи обчислення рангу матриці

1. Якщо серед елементів матриці є хоча б один відмінний від нуля елемент, то знаходимо ненульовий мінор другого порядку. Коли всі мінори другого… 2. Якщо серед мінорів другого порядку є хоча б один відмінний від нуля, то… 3. Якщо хоча б один з обвідних мінорів третього порядку відмінний від нуля, то складаємо всі обвідні його мінори…

Обернена матриця

(1.4.1) Теорема.Кожна квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю, має обернену… Для матриці (1.1.1) обернена матриця знаходиться за формулою:

Матричні рівняння.

, або , (1.5.1) де та – задані квадратні матриці -го порядку, а - невідома матриця того ж… Означення.Розв’язком матричного рівняння називається всяка матриця відповідного порядку, яка після підставлення в…

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

, де – деякі числа, які називають коефіцієнтами рівняння, а – довільне число,… Означення. Системою лінійних рівнянь із невідомими, або лінійною системою, називають систему рівнянь вигляду

Розв’язання

Система має єдине рішення, тому що . Обчислимо додаткові визначники:

Розв’язання

Щоб виключити невідому із усіх рівнянь, крім першого і другого, віднімемо…

Приклади застосування алгебри матриць в економіці

Матриці широко використовуються у всіх галузях науки, у тому числі в економіці. Багато позначень при використанні матриць стають дуже компактними, при чому без втрати наочності і змістовності. Розглянемо декілька прикладів.

Технологічна матриця

План випуску продукції представимо вектором-рядком . Для здійснення такого плану знадобиться -го ресурсу. Такі кількості ресурсів є компонентами… Величина питомого прибутку – це прибуток від реалізації -ї продукції. Запишемо… Позначимо через кількість одиниць -го ресурсу, що є на складі. Запишемо ці величини запасів у виді вектора-рядка .…

Задача оптимального планування.

Задача оптимального планування (одна з найважливіших задач всієї економічної теорії) має вигляд: знайти такий план виробництва продукції, який був би припустимим та забезпечував би найбільший прибуток.

Задача оптимального планування може бути представлена у вигляді наступної математичної моделі:

.

Приклад 1.7.1.Цех робить трансформатори двох видів. На один трансформатор першого виду потрібно 5 кг заліза і 3 кг дроту, а на трансформатор другого виду – 3 кг заліза і 2 кг дроту. Від реалізації одного трансформатора першого та другого виду цех отримує прибуток 60 і 50 гривень відповідно. Цех має 4,8 т заліза і 3 т дроту. Складіть матрицю норм витрат, вектори прибутку і запасів ресурсів. Розгляньте кілька планів виробництва і визначить, які з них припустимі. Наприклад, чи припустимий плани , ?

Розв’язання. Видів продукції – 2, видів ресурсів – 2. Вектор питомих прибутків . Вектор запасів ресурсів . Матриця норм витрат . Для того, щоб визначити, чи є план виробництва припустимим, треба або безпосередньо підрахувати витрати ресурсів на цей план і порівняти з наявними запасами, або перевірити виконання матрично-векторної нерівності .

; .

У підсумку констатуємо, що обидва плани припустимі.

 

 

Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати

Означення. Декартовими прямокутними координатамивектораназиваються його проекції на координатні осі , , : ; ; . Означення. Одиничні вектори координатних осей (рис. 1.1) - взаємно… ; ; .

Основні лінійні операції над векторами.

Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями . (1.8.5) 2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .

Рівняння прямої на площині

, (1.9.1) де – кутовий коефіцієнт, який визначається як , де – кут між прямою і додатним… Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямі (який визначається кутовим коефіцієнтом ), має…

Рівняння прямої у відрізках

де – величина відрізка, що відсікається прямою від осі , а – від осі . Загальне рівняння прямої , (1.9.6)

Умова паралельності прямих

. (1.9.8)

Умова перпендикулярності прямих

. (1.9.9)

Якщо прямі задати у загальному вигляді і , то:

Умова паралельності прямих заданих в загальному вигляді

або ; (1.9.10)

Умова перпендикулярності прямих заданих в загальному вигляді

Відстань від точки до прямої . , (1.9.12) де .

Рівняння площини і прямої в просторі

(1.10.1) де параметр змінюється від до . Канонічне рівняння прямої в просторі:

Загальне рівняння площини в просторі

де , якщо площина проходить через точку . Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнти рівняння (1.10.4) дорівнюють… 1. . Рівняння визначає площину, що проходить через початок координат.

Умова паралельності площин

Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються, їх перетином буде пряма. Приклад 1.10.4.Визначити взаємне розташування двох площин, знайшовши кут між… Розв’язання. За умовою задачі і , тоді за формулою (1.10.11): , тому площини перпендикулярні.

Поняття границі послідовності і границі функції, властивості

Означення.Число називається границею послідовності , якщо для кожного (навіть як завгодно малого) існує номер такий, що при всіх виконується… . Геометрично визначення границі означає, що починаючи з деякого номера, всі члени послідовності опиняться в інтервалі…

Розкриття деяких видів невизначеностей

Починати знаходження границі треба з підстановки у функцію граничного значення аргументу. При цьому можемо одержати невизначеності виду:

.

Невизначеність виду (у чисельнику і знаменнику – багаточлени). Приклади такого виду розв’язуються шляхом ділення чисельника і знаменника на старшу степінь змінної, при цьому:

а) якщо старша степінь чисельника дорівнює старшій степені знаменника, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях;

б) якщо старша степінь чисельника більше старшої степені знаменника, то границя дорівнює нескінченності;

в) якщо старша степінь чисельника менше старшої степені знаменника, то границя дорівнює нулю.

Приклад 1.11.1. Знайти границю .

Розв'язання.

(бо при ).

Приклад 1.11.2.Знайти границю .

Розв'язання.

(бо у границі одержали відношення скінченої до нескінченно малої).

Приклад 1.11.3.Знайти границю .

Розв'язання.

.

Невизначеність виду :

а) якщо у чисельнику і знаменнику стоять багаточлени, тоді потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники, з метою виділення критичного множника, тобто множника, що призводить до невизначеності;

б) якщо вираз містить ірраціональність у чисельнику або знаменнику (або і у чисельнику і у знаменнику), тоді границю знаходять шляхом помноження чисельника і знаменника на вираз, спряжений чисельнику (знаменнику або і чисельнику і знаменнику одночасно).

Приклад 1.11.4.Знайти границю .

Розв'язання.

.

Приклад 1.11.5.Знайти границю .

Розв'язання.

.

Приклад 1.11.6. Знайти границю .

Розв'язання.

. Приклад 1.11.7. Знайти границю . Розв'язання. Обчислимо, використовуючи першу визначну границю . Нехай , тоді . Якщо , то . Використовуючи цю заміну,…

Розв'язання.

.

Диференціальне числення функцій однієї змінної

Поняття похідної, її властивості

Для позначення похідної в точці використовуються символи: . Правила диференціювання:

Розв’язання.

.

Приклад 1.12.3.Знайти похідну .

Розв’язання.

.

Приклад 1.12.4.Знайти похідну .

Розв’язання. Через те, що функція є складною функцією виду , де , , тоді маємо:

.

Приклад 1.12.5.Знайти похідну .

Розв’язання.

Похідні вищих порядків

,

Диференціювання деяких функцій

Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Надалі будемо вважати цю функцію диференційованою. Якщо продиференціювати по обидві частини рівності , одержимо рівняння першої… Приклад 1.12.6. Знайти похідну з рівняння .

Застосування диференціального числення до дослідження функцій однієї змінної

Теорема. Якщо похідна диференційованої функції додатна (від’ємна) усередині деякого проміжку , то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Практичне знаходження проміжків монотонності функції

Приклад 1.13.1. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання.

Маємо . Очевидно, при і при , тому що:

.

– +

2

 

Тобто функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі .

Приклад 1.13.2. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання.

.    

Екстремуми функції

Означення. Значення функції в точці називається відповідно максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції поєднуються загальною назвою… Екстремум функції часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи той… Необхідна умова екстремуму:Для того щоб функція мала екстремум у точці , необхідно, щоб її похідна в цій точці…

Схема дослідження функції на екстремум

1. Знайти ОДЗ функції .

2. Знайти похідну .

3. Знайти критичні точки функції, у яких похідна або не існує.

4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.

5. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

○ Приклад 1.13.3.Знайти екстремум функції .

Розв’язання. Знайдемо .

і .

Точки і розбивають область визначення на інтервали , і .

Знайдемо інтервали зростання:

;

Знайдемо інтервали спадання:

.

Таким чином, похідна функції змінює знак з «–» на «+» при переході через точку і з «+» на «–» при переході через точку . Отже, – точка мінімуму, а – точка максимуму; і .

Всі обчислення можна звести у таблицю:

 

	–		+		–
		min, -24		max, 38,5

 

Друга достатня умова екстремуму: якщо перша похідна двічі диференційованої функції дорівнює нулю в деякій точці , а друга похідна в цій точці додатна, тобто точка мінімуму функції ; якщо від’ємна, тоді – точка максимуму функції .

Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови в цілому аналогічна схемі, наведеній вище.

Опуклість функції. Точки перегину.

Якщо друга похідна двічі диференційованої функції додатна (від’ємна) усередині деякого проміжку, то графік функції є увігнутим (опуклим) на цьому проміжку.

Означення. Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяє інтервали, у яких функція опукла і увігнута.

Якщо друга похідна двічі диференційованої функції при переході через деяку точку змінює свій знак, тоді – точка перегину її графіка.

Схема дослідження функції на опуклість і точки перегину

1. Знайти ОДЗ функції .

2. Знайти другу похідну функції .

3. Знайти точки, у яких друга похідна або не існує.

4. Дослідити знак другої похідної ліворуч і праворуч від знайдених точок і зробити висновок про інтервали опуклості і наявності точок перегину.

5. Знайти значення функції в точках перегину.

Приклад 1.13.4.Знайти інтервали опуклості, увігнутості і точки перегину графіка функції.

; ; , .

Асимптоти графіка функції

Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі. 1. Вертикальні. Якщо при , то – вертикальна асимптота. Вертикальні асимптоти варто шукати в точках розриву функції .

Загальна схема дослідження функції і побудови її графіку

1. Знайти область визначення функції і точки розриву.

2. Дослідити функцію на парність (), непарність (), періодичність ().

3. Знайти точки перетинання графіка функції з віссю і з віссю .

4. Знайти інтервали зростання, спадання функції і її екстремуми.

5. Знайти інтервали опуклості, увігнутості кривої і точки її перегину.

6. Знайти асимптоти кривої.

7. На основі перевіреного аналізу побудувати графік функції.

Приклад 1.13.6.Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Областю визначення функції є . – точка розриву функції. Оскільки і , то – точка розриву II–го роду.

Оскільки , то – вертикальна асимптота.

2. Функція – не парна і не непарна (загального виду). Функція – не періодична.

3. Функція перетинає осі координат в точці .

4. Знайдемо інтервали зростання, спадання функції і точки екстремуму.

, і .

В точці похідна функції не існує.

Точки розбивають область визначення функції на інтервали , , і .

на інтервалах і , значить функція зростає на цих інтервалах.

на інтервалах і , значить функція спадає на цих інтервалах.

– точка максимуму, ; – точка мінімуму, .

5. Знайдемо інтервали опуклості, увігнутості кривої і точки перегину.

, в усіх точках з області визначення функції.

Точка розриву функції розбиває область визначення на два інтервали і .

Якщо , то – графік функції є опуклим.

Якщо , то – графік функції є увігнутим.

Точок перегину немає.

Всі дані заносимо в таблицю.

 

	+		–		–		+
	–	–	–		+	+	+
		max, -8				min,

6. Знайдемо похилі асимптоти графіка:

;

Таким чином, – похила асимптота.

Оскільки , то горизонтальної асимптоти немає.

6. Побудуємо графік функції (рис.1.3).

Рис. 1.3 – До прикладу 1.13.6

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2

Невизначений інтеграл, властивості

Означення. Сукупність всіх первісних для функції на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається . Таким чином: , де – деяка первісна для , с – довільна стала.

Властивості невизначеного інтеграла

. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто: … .

Таблиця інтегралів від основних елементарних функцій

Визначений інтеграл, властивості

Ця формула обчислення визначеного інтеграла називається формулою Ньютона-Лейбніца. Геометричний зміст. Якщо функція неперервна на відрізку і усередині цього…   …

Властивості визначеного інтеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Якщо постійна, то ;

6. .

Основні методи інтегрування

Метод безпосереднього інтегрування.Метод полягає в тому, що за допомогою алгебраїчних перетворень підінтегральна функція приводиться до табличної… Приклад 2.3.1.Знайти інтеграли а) ; б) ; в) .

Розв’язання.

.   б) .

Розв’язання.

а) Нехай . Тоді і, виходить, за формулою (2.3.2*). .

б) .

в)

.

Формулу інтегрування частинами застосували двічі.

г)

.

Інтегрування раціональних функцій

Раціональною функцією називається дріб виду , де і – цілі багаточлени.

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь нижче степені , у противному випадку дріб називається неправильним.

Якщо дріб неправильний, то шляхом ділення чисельника на знаменник за правилом ділення багаточленів варто виділити цілу частину і правильний дріб. Тому будемо розглядати інтегрування правильних дробів, оскільки інтегрування цілої частини не викликає труднощів.

Метод невизначених коефіцієнтів

Теорема.Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (з дійсними… (2.4.1) то цей дріб може бути розкладений на елементарні дроби за наступною схемою:

Розв’язання.

. Звідси: . (*)

Невласні інтеграли

Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування (або , або ), які визначаються формулами: ; (2.6.1) ; (2.6.2)

Диференціальні рівняння першого порядку

У загальному випадку диференціальне рівняння можна записати у вигляді: (2.7.1) при цьому порядок старшої похідної, що входить у запис рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Розв’язання.

.

Помножимо обидві частини рівності на .

.

Розділимо обидві частини отриманої рівності на .

;

; ; ; .

Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку

, (2.8.1) де – деяка функція (однієї змінної). Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язане з однорідними функціями.

Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

(2.9.1) де – деякі дійсні числа, – деяка функція. Ми будемо розглядати однорідні… (2.9.2)

Числові ряди

Основні поняття

Означення. Нехай задана нескінченна послідовність чисел , тоді вираз

називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду.

Означення. Ряд називається збіжним, якщо сума його перших членів при прямує до скінченної границі : . Число називається сумою збіжного ряду. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збігається, то його -й член прямує до нуля при необмеженому зростанні , тобто

.

ЗауваженняВиконання необхідної ознаки збіжності не говорить про те, що ряд збіжний. Це потрібно визначити за допомогою однієї з достатніх ознак.

Достатні ознаки збіжності ряда

Ознака Даламбера

, тоді: 1) ряд збігається у випадку ,

Радикальна ознака Коші

, величина при має границю , тобто: ,

Інтегральна ознака збіжності ряду

. Тоді: 1) ряд збігається, якщо невласний інтеграл збігається (дорівнює скінченому числу);

Порівняння рядів з додатними членами

(2.11.1) (2.11.2) 1) :якщо і ряд (2.11.2) збігається, то і ряд (2.11.1) є збіжним;

Степеневі ряди. Інтервал збіжності

, де – сталі числа (коефіцієнти ряду). Інтервал збіжності степеневого ряду можна знаходити за допомогою ознаки Даламбера, тобто знаходимо . Відомо, що ряд…