Диференціювання деяких функцій

Диференціювання неявних функцій.

Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Надалі будемо вважати цю функцію диференційованою.

Якщо продиференціювати по обидві частини рівності , одержимо рівняння першої степені відносно . Із цього рівняння легко знаходиться , тобто похідна неявної функції.

Приклад 1.12.6. Знайти похідну з рівняння .

Розв’язання. Тому що є функцією від , тоді будемо розглядати як складну функцію від . Отже, . Якщо продиференціюємо по обидві частини даного рівняння, одержимо: , тобто .

Приклад 1.12.7. Знайти похідну з рівняння .

Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини рівняння, одержимо:

,

тобто .

Перенесемо в одну сторону рівності всі доданки, що містять , тоді:

,

,

.

Диференціювання степенево-показникової функції: .

Щоб обчислити похідну даної функції застосовується спеціальний прийом: необхідно спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати як складну функцію. Така процедура називається логарифмічним диференціюванням.

Приклад 1.12.8.Знайти похідну з рівняння

; ;

; ;

; .

Нарешті, .

Зауваження.Спосіб диференціювання функції попереднім логарифмуванням також ефективний при знаходженні похідної функції, що є добутком або часткою декількох функцій.

Приклад 1.12.9. Знайти похідну .

Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:

; ; ;

; ;

;

.