Диференціювання неявних функцій.
Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Надалі будемо вважати цю функцію диференційованою.
Якщо продиференціювати по обидві частини рівності , одержимо рівняння першої степені відносно . Із цього рівняння легко знаходиться , тобто похідна неявної функції.
Приклад 1.12.6. Знайти похідну з рівняння .
Розв’язання. Тому що є функцією від , тоді будемо розглядати як складну функцію від . Отже, . Якщо продиференціюємо по обидві частини даного рівняння, одержимо: , тобто .
Приклад 1.12.7. Знайти похідну з рівняння .
Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини рівняння, одержимо:
,
тобто .
Перенесемо в одну сторону рівності всі доданки, що містять , тоді:
,
,
.
Диференціювання степенево-показникової функції: .
Щоб обчислити похідну даної функції застосовується спеціальний прийом: необхідно спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати як складну функцію. Така процедура називається логарифмічним диференціюванням.
Приклад 1.12.8.Знайти похідну з рівняння
; ;
; ;
; .
Нарешті, .
Зауваження.Спосіб диференціювання функції попереднім логарифмуванням також ефективний при знаходженні похідної функції, що є добутком або часткою декількох функцій.
Приклад 1.12.9. Знайти похідну .
Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:
; ; ;
; ;
;
.