Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого правильного раціонального дробу до інтегрування елементарних дробів.
Теорема.Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (з дійсними коефіцієнтами):
(2.4.1)
то цей дріб може бути розкладений на елементарні дроби за наступною схемою:
(2.4.2)
де – деякі дійсні числа.
На практиці розкладання конкретного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів зазвичай роблять методом невизначених коефіцієнтів. Для цього:
§ розкладають знаменник на добуток лінійних і квадратичних множників;
§ записують розкладання дробу за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами;
§ приводять елементарні дроби до загального знаменника ;
§ прирівнюють багаточлен, що утворився у чисельнику, до багаточлена .
Для того щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й достатньо, щоб коефіцієнти при однакових степенях у них були рівні. З огляду на це зауваження, прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частинах рівності, одержуючи тим самим систему алгебраїчних рівнянь для знаходження невизначених коефіцієнтів.
Приклад 2.4.1.Знайти інтеграли а); б) .