Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлене у вигляді:

, (2.8.1)

де – деяка функція (однієї змінної).

Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язане з однорідними функціями.

Означення.Функція називається однорідноюстепені , якщо для довільного числа виконується рівність:

Однорідні рівняння за допомогою підстановки приводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.

Приклад 2.8.1.Розв’язати рівняння: .

Розв’язання. Через те, що , рівняння має вигляд (2.8.1) при . Нехай , звідси і . підставимо в перетворене рівняння:

,

.

Одержимо рівняння зі змінними, що розділяються:

.

Розділимо обидві частини рівності на і помножимо на (, тобто , але слід зазначити, що є рішенням вихідного рівняння).

.

Інтегруючи останню рівність, одержуємо:

,

,

.

Повертаючись до початкових змінних, одержимо:

, звідки

( при одержуємо розв’язок диференціального рівняння ).

Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:

(2.8.2)

де й – деякі (неперервні) функції змінної .

Розглянемо один з можливих способів розв’язання рівняння: будемо шукати рішення у вигляді , тим самим шуканими стають функції і , одна з яких може бути обрана довільно, а інша – повинна визначатися з рівняння (2.8.2). Тобто використовується в рішенні заміна .

Приклад 2.8.2.Розв’язати рівняння: .

Розв’язання. Розділивши ліву і праву частини на приходимо до лінійного неоднорідного рівняння:

.

Нехай , , тоді рівняння прийме вид:

або .

Користуючись тим, що одну з допоміжних функцій (наприклад ) можна вибрати довільно, підберемо її так, щоб вираження в дужках обернулося в нуль, тобто в якості візьмемо одне із частинних рішень рівняння зі змінними, що розділяються.

або ; звідки: .

Якщо проінтегруємо обидві частини рівності, знайдемо частинне рішення цього рівняння, наприклад, при , звідки .

При вихідне рівняння звернеться в рівняння:

або .

Розв’язуючи це рівняння зі змінними, що розділяються, одержуємо . Тоді остаточно маємо:

.