Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлене у вигляді:
, (2.8.1)
де – деяка функція (однієї змінної).
Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язане з однорідними функціями.
Означення.Функція називається однорідноюстепені , якщо для довільного числа виконується рівність:
Однорідні рівняння за допомогою підстановки приводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.
Приклад 2.8.1.Розв’язати рівняння: .
Розв’язання. Через те, що , рівняння має вигляд (2.8.1) при . Нехай , звідси і . підставимо в перетворене рівняння:
,
.
Одержимо рівняння зі змінними, що розділяються:
.
Розділимо обидві частини рівності на і помножимо на (, тобто , але слід зазначити, що є рішенням вихідного рівняння).
.
Інтегруючи останню рівність, одержуємо:
,
,
.
Повертаючись до початкових змінних, одержимо:
, звідки
( при одержуємо розв’язок диференціального рівняння ).
Означення.Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:
(2.8.2)
де й – деякі (неперервні) функції змінної .
Розглянемо один з можливих способів розв’язання рівняння: будемо шукати рішення у вигляді , тим самим шуканими стають функції і , одна з яких може бути обрана довільно, а інша – повинна визначатися з рівняння (2.8.2). Тобто використовується в рішенні заміна .
Приклад 2.8.2.Розв’язати рівняння: .
Розв’язання. Розділивши ліву і праву частини на приходимо до лінійного неоднорідного рівняння:
.
Нехай , , тоді рівняння прийме вид:
або .
Користуючись тим, що одну з допоміжних функцій (наприклад ) можна вибрати довільно, підберемо її так, щоб вираження в дужках обернулося в нуль, тобто в якості візьмемо одне із частинних рішень рівняння зі змінними, що розділяються.
або ; звідки: .
Якщо проінтегруємо обидві частини рівності, знайдемо частинне рішення цього рівняння, наприклад, при , звідки .
При вихідне рівняння звернеться в рівняння:
або .
Розв’язуючи це рівняння зі змінними, що розділяються, одержуємо . Тоді остаточно маємо:
.