Нехай задані два ряди з додатними членами:
(2.11.1)
(2.11.2)
1) :якщо і ряд (2.11.2) збігається, то і ряд (2.11.1) є збіжним;
2) якщо і ряд (2.11.2) розбігається, то розбігається і ряд (2.11.1).
Приклад 2.11.4.Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом , члени якого, починаючи із другого, утворюють геометричну прогресію із знаменником . Сума цього ряду дорівнює , тобто він збіжний. Кожен член вихідного ряду менше відповідних членів ряду .
Таким чином, вихідний ряд збігається, причому його сума не перевершує .
Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца
Якщо в знакопочережному ряді:
,
члени такі, що і , тоді ряд збігається, його сума додатна і не перевершує першого члена.
Приклад 2.11.5.Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання.
1) – кожен член ряду за модулем менше попереднього;
2) , таким чином за ознакою Лейбніца ряд збігається.