Порівняння рядів з додатними членами

Нехай задані два ряди з додатними членами:

(2.11.1)

(2.11.2)

1) :якщо і ряд (2.11.2) збігається, то і ряд (2.11.1) є збіжним;

2) якщо і ряд (2.11.2) розбігається, то розбігається і ряд (2.11.1).

Приклад 2.11.4.Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом , члени якого, починаючи із другого, утворюють геометричну прогресію із знаменником . Сума цього ряду дорівнює , тобто він збіжний. Кожен член вихідного ряду менше відповідних членів ряду .

Таким чином, вихідний ряд збігається, причому його сума не перевершує .

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца

Якщо в знакопочережному ряді:

,

члени такі, що і , тоді ряд збігається, його сума додатна і не перевершує першого члена.

Приклад 2.11.5.Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

1) – кожен член ряду за модулем менше попереднього;

2) , таким чином за ознакою Лейбніца ряд збігається.