Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Данный ряд является обобщенным степенным рядом вида , где коэффициент , .
Областью сходимости степенного ряда с точностью до границ, является интервал с центром в точке и радиусом , где R – радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле . Сходимость ряда на концах интервала при и необходимо исследовать отдельно. В нашем примере
, тогда .
Вычислим радиус сходимости =
====.
Тогда интервал сходимости имеет вид или .
Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала. Пусть , тогда подставив это значение в степенной ряд, получим числовой ряд или, преобразовав его, имеем ряд . Мы получили числовой знакочередующийся ряд, который исследуется признаком Лейбница.
Согласно признаку Лейбница, если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда с возрастанием номера , убывают по абсолютной величине; 2) предел абсолютной величины общего члена ряда равен нулю при , то такой ряд является сходящимся.
Проверим выполнимость условий Лейбница в нашем примере:
1), , , , …, , , …
Очевидно, что члены ряда по абсолютной величине убывают:
> > > > …> > > …
2) .
Оба условия признака Лейбница выполняется, следовательно, при степенной ряд сходится.
Пусть , тогда данный степенной ряд станет числовым знакоположительным рядом =..
К исследованию этого ряда на сходимость применим признак сравнения с рядом Дирихле , который сходится, если и расходится если .
Для нашего примера используем ряд =, здесь , значит, данный ряд расходится.
Сравнение выполним посредством вычисления предела =====, так как предел получился отличным от 0 и , значит, исследуемый ряд ведет себя также, как и тот ряд, с которым проводилось сравнение , т.е. в нашем случае расходится, а это означает, что при степенной ряд расходится. Итак, область сходимости данного степенного ряда: .