Пусть члены функционального ряда - непрерывные функции в точке - внутренней точке области V. Пусть ряд сходится равномерно в области V. Тогда сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .
Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то
.
Так как - непрерывные функции в точке , то и непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных функций.
Зафиксируем n>N. По непрерывности .
Оценим
.
Итак , то есть сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .