Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биекция.
Доказательство. Необходимость. Пусть f – обратимая функция. Покажем, что f – биекция. Т.к. f – обратима, то по определению 53 существует такая что, fg=и gf=. Из первого равенства, по лемме 2, получаем, что f – сюръективна. Так как gf=, то, по лемме 2, f инъективна. Следовательно, f – биекция.
Достаточность. Пусть f – биекция. Покажем, что f – обратимая функция.
Пусть - функция, заданная по правилу: g(b)=a f(a)=b (*). Покажем, что g – функция, обратная для f. Пусть . Так как f биективна, то такое, что . В силу задания функции g имеем . Тогда . В силу произвольности элемента получим, что fg=. Далее, . Следовательно, gf=. По определению 53, g – функция, обратная для f, то есть f обратима.
Теорема доказана.