Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция «∗» ассоциативна на G ,т. е. а∗(b∗c) = (a∗b)∗c для любых a, b, c∈G.
2) в G существует нейтральный элемент относительно операции «∗», т. е. ∃e∈G : a∗e=e∗a=a, для любого a∈G.
3) в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a∈G ∃a'∈G : a∗a'=a'∗a=e.
Теорема 4. В группе G для любых a, b, c∈G уравнения a∗x=b (1) и x∗a=b имеют единственное решение x=a'∗b и x=b∗a' соответственно, где a' - симметричный элемент для а относительно операции «∗».
Доказательство. Покажем, что a'∗b является решением уравнения (1). Действительно, a∗(a'∗b)=(a∗a')∗b=e∗b=b.
Пусть c1, c2 – решения уравнения (1), где c1, c2∈G. Тогда a∗c1=b и a∗c2=b. Отсюда a∗c1=a∗c2. Умножая обе части этого равенства на a' слева, получим c1=c2, то есть уравнение (1) имеет единственное решение.
Аналогично, уравнение (2) имеет единственное решение.
Теорема доказана.
Теорема 5. В группе G выполняется закон сокращения, то есть из a∗c=b∗c всегда следует, что a=b и из c∗a=c∗b следует, что a=b для любых a, b, c∈G .
Доказательство. Пусть c∗a=c∗b . Умножим обе части равенства на c' слева. Получим c'∗(c∗a)=c'∗(c∗b). Так как операция «∗» ассоциативна на G, то (c'∗c)∗a=(c'∗c)∗b и e∗a=e∗b. Значит, a=b.
Теорема доказана.
Определение 16. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной; группа относительно операции сложения называется аддитивной.
Пример 3. 1) ℤ, ℚ, ℝ - аддитивные группы;
2) ℤ#, ℚ#, ℝ# - мультипликативные группы;
3) ℕ не является ни аддитивной, ни мультипликативной группой.
Определение 17. Группа G относительно операции «∗» называется абелевой, если операция «∗» коммутативна на G, то есть a∗b=b∗a для любых a, b∈G.
Определение 18. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.
Определение 19. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.
Замечание 5. В дальнейшем, для удобства записи, будем рассматривать мультипликативные группы.
Теорема 6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, то есть он единственен; для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.
Доказательство следует из теорем 1 и 2.