Простейшие свойства полей.

Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:

1) Р – аддитивная абелева группа, то есть

а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, c∈Р;

b) ∃0∈Р : a+0=0+a=a, для любого a∈Р;

c) для любого a∈Р ∃ -a∈Р : a+(-a)=(-a)+a=0;

d) для любых a, b∈Р a+b=b+a;

2) Р^# - мультипликативная абелева группа, то есть

а) а⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c для любых a, b, c∈Р^# ;

b) ∃1∈Р^# : a⋅1=1⋅a=a, для любого a∈Р^# ;

c) для любого a∈Р^# ∃ a^-1∈Р : a⋅a^-1=a^-1⋅a=0;

d) для любых a, b∈Р^# a⋅b=b⋅a;

3) в Р выполняются дистрибутивные законы: для любых a, b, c∈Р (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (правая дистрибутивность) и с⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b (левая дистрибутивность).

Замечание 12. Из условий 1) и 3) следует, что Р – кольцо. Из условия 2), что Р – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, причем любой ненулевой элемент в Р обратим. Таким образом, определение поля можно сформулировать следующим образом:

Определение 36'. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Пример 6. ℚ, ℝ, ℂ – поля, ℤ полем не является.

 

Простейшие свойства полей

Свойство 1. Так как поле является кольцом, то для него выполняются все свойства колец.

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

Доказательство. Пусть Р – поле a, b∈P, причем a⋅b=0. Если а≠0, то ∃ а^-1∈Р и a^-1⋅(a⋅b)=(a^-1⋅a)⋅b=1⋅b=b, то есть a^-1⋅0=b. По следствию 3.1 свойства 3 колец, имеем b=0. Если b≠0, то, аналогично, а=0. Следовательно, если a⋅b=0, то либо, а=0, либо b=0. Значит, a и b делителями нуля не являются.

Свойство доказано.

Свойство 3. Пусть Р – поле, a, b∈P, а≠0. Тогда уравнение a⋅x=b (x⋅a=b) имеет в Р единственное решение.

Доказательство. При b≠0 это свойство мультипликативной группы. Если b=0, то получим a⋅x=0 (x⋅a=0). Так как, по свойству 2, в поле нет делителей нуля, то x=0 – единственное решение данного уравнения.

Свойство доказано.

Замечание 13. Произведение a^-1⋅b записывают в виде . Таким образом, в поле определено деление на любой не равный нулю элемент.

Свойство 4. Пусть Р – поле. Тогда справедливы следующие равенства

1) для любых a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0 ;

2) для любых a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0 ;

3) если , то .

Доказательство. 1) Пусть и – решения уравнений b⋅x=a и d⋅y=c соответственно. Умножим первое уравнение на d, а второе – на b. Получим, d⋅b⋅x=d⋅a и b⋅d⋅y=b⋅c. Следовательно, d⋅b(x+y)=d⋅a+b⋅c и – единственное решение уравнения b⋅d⋅t=d⋅a+b⋅c.

2) Пусть a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0. Тогда имеем .

3) Покажем, что , то есть что – обратный элемент для элемента . Так как , то существует. Тогда, в силу 2) и замечания 13, получим . Значит, .

Свойство доказано.