Многочлена над областью целостности.

 

Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿK[x], а_n 0. Тогда многочлен f(x) имеет не более n попарно различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен n-й степени над областью целостности имеет не более n попарно различных корней.

Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру n.

1) Пусть n=0 f(x)=a₀ f не имеет корней, т.е. f имеет нуль корней и значит 00=n - верно.

2) Пусть n >0. Предположим, что утверждение верно при n=l.

3) Докажем, что утверждение верно при n=l+1: deg f =l+1. Если f не имеет корней, то число корней равно 0 и 0l+1 - верно. Пусть f имеет хотя бы один корень и с₁ – корень f(x) такой, что с₁K. Тогда, по теореме Безу, f(x)=(x-c₁)q(x), где q(x)K[x], причём deg q(x)=l по пункту 2) q(x) имеет не более l попарно различных корней.

Покажем, что все корни многочлена f(x), отличные от с₁, являются также корнями многочлена q(x). Пусть с₂ – корень f(x), с₂с_{1 =}(c₂-c₁)q(c₂), т.е. (с₂-с₁)q(c₂)=0 (так как K - область целостности) q(c₂)=0 c₂ - корень q(x). Таким образом, многочлен f(x) имеет корень с₁, а все остальные корни многочлена f являются также корнями многочлена q. Так как q(x) имеет не более l попарно различных корней, то многочлен f имеет не более, чем (l+1) попарно различных корней.

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого nℕ. Теорема доказана.

Следствие 15.1. Пусть K – область целостности, f(x)=а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿ K[x]. Если многочлен f(x) имеет более n попарно различных корней, то f(x) является нулевым многочленом.