Формальная производная многочлена.

Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x)=. Многочлен вида называется формальной производной многочлена f(x) и обозначается (x).

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:

1) (f +g)=f + g;

2) (f·g)=f ·g + f ·g;

3) (k·f)=k·f ;

4) ()=m·.

Замечание 10. Если степень f(x) равна n, то отсюда еще не следует, что степень f'(x)=n-1. Например, пусть F={}, f(x)=, deg f=2. Тогда f'(x)= , т.е. deg f'(x)=0. Если же в качестве F выбирается поле характеристики 0 (Сhar F=0), то из того, что deg f=n, всегда будет следовать, что deg f'=n-1. Напомним, что поле F называется полем характеристики 0, если для любого n∈ℕ n⋅e≠0, где e - единичный элемент F. Полями нулевой характеристики являются все бесконечные поля (например, ℚ, ℝ, ℂ). В дальнейшем будем рассматривать только поля нулевой характеристики.

Найдем значение многочлена f(x) и всех его производных в точке cF, т.е. найдем f(c), f (c), f (c)=(f (c))и т.д. Для этого запишем разложение многочлена f(x) по степеням (x-c):

(*) f(x) =. Тогда f(c) =,

f (x) = f (x) =,

(x)=и f''(x) =2.

Аналогично, (c)=3·2·1·, (c)=4·3·2·1·и т.д. Таким образом, !·k=(4).

Замечание 11. Подставим в формулу (*) вместо соответствующие выражения из (4): f(x)=- формула Тейлора.

 

 

17. Многочлены над полем ℂ.