Матрица ступенчатого вида.

Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

, где a_ij P, i=, j=.

Определение 11. Квадратной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица размера n×n над полем P.

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Тогда в А выделяют 2 диагонали: главную и побочную.

 

 

главная побочная

Матрицы обозначаются следующим образом: А=(a_ij) или А=||a_ij||, i=, j=.

Определение 12. Элементы a_ii матрицы квадратной А=(a_ij) называются диагональными, или элементами главной диагонали.

А_i – i-я строка матрицы А, т.е. А_i=(a_i1 a_{i1 …} a_in).

А^j – j-й столбец матрицы А, т.е. А^j =.

Определение 13. Матрица А=(a_ij), i=, j=называется треугольной (верхней треугольной), если a_ij=0 при i>j.

Замечание 2. Строку или столбец матрицы А называют нулевыми, если все их элементы равны нулю.

Определение 14. Матрица А=(a_ij), i=, j=называется ступенчатой (матрицей ступенчатого вида), если во всех ее строках вторые индексы первых слева ненулевых элементов возрастают j₁<j₂<…<j_i.

Замечание 3. Из определения 14 следует, что ступенчатая матрица является треугольной, причем ее нулевые строки (если они есть) расположены ниже ее ненулевых строк.

Определение 15. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) умножение всех элементов какой-либо строки матрицы на элемент ;

2) умножение всех элементов какой-либо строки матрицы на элемент и прибавление ее к соответствующим элементам другой строки матрицы;

3) добавление или отбрасывание нулевой строки матрицы.