Определитель произведения матриц.

Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей множителей.

Доказательство. а) Пусть А – вырожденная матрица. Тогда по теореме 8 |A|=0. Далее, так как матрица А вырождена, то по лемме 3, АВ – вырожденная матрица => |AB|=0. Таким образом, |AB|=0=0∙|B|=|A|∙|B|.

б) Пусть А – невырожденная матрица. Тогда с помощью элементарных преобразований матрица А приводится к матрице Е_n. Согласно леммам 1 и 2, это равносильно тому, что матрица А приводится к матрице Е_n с помощью умножения слева на элементарные матрицы, т.е. существуют элементарные матрицы S₁,…,S_p такие, что (S_p∙…∙S₁)A=E_n => A^-1=S_p∙…∙S₁. Рассмотрим (А^-1)^-1:

А=(A^-1)^-1=(S_p∙…∙S₁)^-1=S₁^-1∙S₂^-1∙…∙S_p^-1. (Действительно, (C₁C₂)^-1=C₂^-1C₁^-1, так как (С₁С₂)∙(С₂^-1С₁^-1)=С₁С₂∙С₂^-1С₁^-1=Е).

Таким образом, A=S₁^-1∙…∙S_p^-1 => AB=S₁^-1∙…∙S_p^-1B (1).

В силу (1) докажем, что |S₁^-1∙…∙S_p^-1∙B|=|S₁^-1∙…∙S_p^-1|∙|B|. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру p.

1) Проверим, что утверждение верно при р=1, т.е. проверим, что |S₁^-1B|= =|S₁^-1|∙|B|.

Предварительно докажем, что если S – элементарная матрица, то S^-1 – также элементарная матрица. Пусть матрица S имеет вид Е_α(i,i) (2), т.е. . Тогда =. Действительно, S∙S^-1==Е_n.

Пусть матрица S имеет вид Е_α(i,j), ij (3). Тогда нетрудно проверить, что S^-1=. Таким образом, если S – элементарная матрица, то S^-1 – также элементарная матрица.

Тогда если S₁^-1 – матрица типа (2), то по свойству 5 определителей получаем |AB|=|S₁^-1∙B|=α∙|B|=|S₁^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Если S₁^-1 – матрица типа (3), то по свойству 8 определителей имеем |AB|=|S₁^-1B|=|B|=1∙|B|=|S₁^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, при р=1 утверждение верно.

2) Предположим, что утверждение верно для числа множителей, меньшего р.

3) Докажем, что утверждение верно для р множителей.

Из (1) следует, что |AB|=|S₁^-1∙…∙S_p^-1∙B|=|(S₁^-1∙…∙S_p-1^-1)∙(S_p^-1∙B)|. Пусть S_p^-1∙B=B₁. Тогда |AB|=|S₁^-1∙…∙S_p-1^-1∙B₁||S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙|B|=|S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙ ⋅|S_p^-1∙B||S₁^-1∙…∙S_p-1^-1|∙|S_p^-1|∙|B| |S₁^-1∙…∙S_p-1^-1∙S_p^-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, утверждение верно для р.

Из 1)-3) по методу математической индукции получаем, что утверждение верно ℕ.

Теорема доказана.