Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P.
Если определитель =0, то А-1, причем А-1=, где Аij - алгебраическое дополнение к элементу аij в матрице А, i=, j=.
Доказательство. Так как А – невырожденная матрица. Тогда, по теореме 3, А – обратимая матрица. Значит, А-1 существует. Пусть B=. Покажем, что В=А-1, т.е. покажем, что АВ=ВА=Еn. Действительно,
АВ==
== = = En, т.е. АВ=Еn (1). Аналогично доказывается, что ВА=Еn (2). Из (1) и (2) следует, что В=А-1.
Теорема доказана.