Функция как бинарное отношение.

Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)f и (a,c)f следует, что b=c .

Определение 42. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f=A, и обозначается f : AB или AB.

Замечание 7. Если f: AB – функция, то каждому элементу aA соответствует единственный элемент bB и записывается f(a)=b (a,b)f afb.

Определение 43. Пусть f: AB функция, aA, bB. Если f(a)=b, то b называется образом элемента a при отображении f; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.

Определение 44. Пусть f: AB функция, A₀A. Множество f(A₀)={f(a)|aA₀} называется образом множества A₀ при отображении f.

Определение 45. Пусть f: AB - функция, bB. Множество f ^-1(b)={aA|f(a)=b} называется полным прообразом элемента b при отображении f.

Определение 46. Пусть f: AB функция, B₀B. Множество f^-1(B₀)={f ^-1(b) ∣ b∈B₀} – называется полным прообразом множества B₀ при отображении f.

Определение 47. Отображение f: XY называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если из x₁x₂ следует, что f(x₁) f(x₂), x_1, x₂ X.

Замечание 8. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.

Определение 47′. Отображение f: XY называется инъективным, если из f(x₁)=f(x₂)x₁=x₂, x₁,x₂X.

Определение 48. Отображение f: XY называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f =Y), т. е. y Y xX такое что f(x) = y.

Определение 49. Отображение f: XY называется биективным (или взаимно-однозначным отображением X на Y), если отображение f инъективно и сюръективно.