Определение вероятности события

Классическое определение вероятности события. При классическом определении вероятность события определяется равенством

P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена случайная точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P = Длина l/Длина L

 

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает комбинации, составленные определённым образом из элементов безразлично какой природы.

Перестановками - это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга только расположением элементов кол-вом перестановок. Число всех возможных перестановок

P_n = n!,

Размещениями - это комбинации которые отличаются друг от друга только составом из n элементов по m элементов в каждой причем m< или равно n. Число всех возможных размещений

A^m_n = n*(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями - это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С ^m_n = n! / (m! (n - m)!).

 

 

2. Аксиоматика теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Аксиоматика теории вероятностей. Элементарная В. т. недостаточна для описания случайных явлений уже в простых ситуациях. Модель с конечным числом исходов непригодна, напр., для понятия "случайно выбранной на отрезке точки". Такого рода трудности позволяет преодолеть схема, предложенная A. H. Колмогоровым в 1933 и ставшая с тех пор общепринятой.

Осн. эле.ментами этой аксиоматич. схемы являются: пространство элементарных событий , к-рое может быть множеством произвольной природы, нек-рый классего подмножеств, т. е. множеств элементарных событий, к-рые наз. событиями, и числовая ф-цияP на , к-рая удовлетворяет условиям 1)-3) и наз. вероятностью. Для корректности матем. модели требуют, чтобы класс был s-алгеброй (т. е. чтобы сам было событием и, значит, принадлежало , чтобы наряду с любым событием А классу принадлежало бы и его дополнение и чтобы для любой бесконечной последовательности событий A₁, A₂, ... их объединение также было событием), а ф-ция P была счётно-аддитивной, т. е. чтобы вместе со свойством 3) имело место следующее: если события A₁, A₂, ... попарно несовместны, то [это означает, что P является мерой на измеримом пространстве]. Тройка наз. вероятностным пространством. Очевидно, что элементарная В. т. является на самом деле частным случаем реализации этой схемы; её осн. определения остаются в силе и в общем случае. Одно из существ. отличий заключается в определении случайной величины : требуют, чтобы множества принадлежали классу при всех x. Для таких ф-ций X можно определить абстрактный интеграл Лебега, к-рый и наз. матем. ожиданием случайной величины X. Задавать случайную величину X удобнее всего с помощью её ф-ции распределения