Закон больших чисел Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

(55)

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).

 

 

20. Центральная предельная теорема.

Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Мы приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.

Пусть последовательность одинаково распре­делённых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями .

ТЕОРЕМА. Если случайные величины независимы и , то при достаточно большом n закон распределения суммы будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения .

Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма имеет закон распределения близкий к .Так' как na и с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы , а нормированные суммы . Такие суммы при имеют закон распределения .

17. Числовые характеристики функции случайного числа случайных слагаемых.