Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:
(*)
Тогда этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a, +¥) и обозначают .
В случае существования предела (*) говорят, что несобственный интеграл функции f(x) сходится на промежутке [a, +¥).
Представим несобственный интеграл на промежутке [a, +¥) в виде суммы определенного интеграла на отрезке [a, b] и несобственного на промежутке [b, +¥): .
Интеграл функции f(x) сходится на промежутке [a, +¥), если для любого числа ε>0 существует число в такое, что абсолютная величина второго интеграла будет меньше ε, т.е.
(**)
Тогда значение сходящегося несобственного интеграла на промежутке [a, +¥) равно с точностью ε определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [a, b]:
В случае, когда вычисляют по одной из квадратурных формул, это ведет к увеличению погрешности. Тогда поступают следующим образом:
1) b выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство
2) определенный интеграл вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2.
Таким образом, суммарная погрешность