Математические модели и численные методы - раздел Математика,
Математические Модели И Численные...
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы:
1. Математическая постановка задачи и построение математической модели. На… · определить, что дано, что надо получить;
Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения:
R – точное решение задачи (результат);
– приближенное решение задачи;
Решение уравнений с одной переменной
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.
Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x*, которое обращает уравнение в верное равенство.
x* - корень уравнения F(x)=0 x* - нуль функции y=F(x).
Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.
Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:
I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.
II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.
Отделение корней
Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.
Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b)<0), то уравнение…
Правильность нахождения отрезков, содержащих один корень, зависит от характера функции y=F(x) и от величины шага h.…
Уточнение корней
Уточнение корней может осуществляться различными методами.
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
Разделим отрезок [a,b] пополам точкой . Если , то возможны два случая: 1) F(x) меняет знак на отрезке [a; c];
2) F(a)F(b)<0
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
В качестве приближений к корню принимаются значения c0, c1, c2… точек пересечения хорды с осью абсцисс или
Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На kой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=ck и… Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x0 имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0,…
Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены… 1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Для оценки погрешности n-го приближения используется формула . Приняв за… Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b]. Чем q меньше, тем быстрее…
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x) = x – m F(x).
Исходя из третьего условия теоремы: ($q) ("xÎ[a,b]) [… Достаточно подобрать m так, чтобы выполнялось неравенство 0<mF’(x)<1, откуда следует и .
Ее можно записать в матричном виде A x = B, где
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Алгоритм состоит из двух этапов.
1) r(x,y)³0
2) r(x,y)=0 x=y
3) r(x,y)= r(y,x)
Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений yi учитываются уже полученные значения… I. Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного…
Интерполирование функций
Требуется получить y=f(x) для xÏ[x0,xn], где x¹xi. При этом аналитическое выражение
· не пригодно ля вычислений либо
· неизвестно.
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).
… Ln(x) ищем в виде Ln(x)= l0(x)+ l1(x)+ l2(x)+…+ ln(x),
Где li(x) – многочлен степени n, причем
Рассмотрим случай, когда h=xi+1 – xi=const (i=0, 1, …).
Рассмотрим конечные разности:
– конечные разности 1-го порядка – разности между значениями функции в соседних узлах.
Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени:
Pn(x) = a0+ a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) +…+ an(x-x0)…(x-xn-1) (3)
Коэффициенты a0, a1, …, an находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и многочлена Pn(x) в узлах…
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования… Pn(x) = a0+ a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) +…+ an(x-xn)…(x-x1) (4)
Коэффициенты a0, a1, …, an находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и интерполяционного…
Численное дифференцирование
Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx при стремлении Dx к нулю: .
Если
· производную от функции в данной точке аналитически найти не удается либо
· вычисление производной слишком громоздко или занимает очень много времени либо
· функция f(x) задана на конечном множестве точек {xi} (i=0,1,…,n),
то необходимо перейти к численному дифференцированию.
Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет… Где Dx=x–x0 ,
Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а… Пусть функция y=f(x) определена на отрезке и в точках {xi} (i=0,1,2,…,n) этого… Разность между соседними значениями аргумента xi постоянна и является шагом h=xi– xi-1 (i=1, …,n) разбиения отрезка на…
где F(x) – одна из первообразных функции f(x) (такая что F’(x)=f(x)).
Однако функция f(x) может быть задана таблицей или графиком, а также… Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.
где , i=0,1,…,n при n=1.
При i = 0
При i = 1
где , i=0,1,…,n при n=2.
При i = 0
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:
(*)
Тогда этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a, +¥) и обозначают .
I. , a>0, p>1, C>0
Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .
Достаточные условия сходимости абсолютно сходящихся интегралов:
· Если для любых значений x на промежутке [a, +¥) и сходится, то также… · Если функции |f(x)| и |g(x)| эквивалентны при x®¥ () и несобственный интеграл сходится, то сходится и…
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и или не существует.
Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом… Аналогично определяется несобственный интеграл в точке a.
Численное решение дифференциальных уравнений
(1)
Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка… График решения y=y(x) называется интегральной кривой.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен .
Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид или , откуда y1=y0+hf(x0,y0).
; (i=1, 2, …, m) (7)
,
Метод называют методом Рунге-Кутта порядка P, если от имеет P-й порядок точности по шагу h на сетке.
Классический метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка получаем при
P=4, c1=0, c2= c3=1/2, c4=1, d1=d4=1/6, d2=d3=1/3
Расчетные формулы имеют вид:
; (i=1, 2, …, m) (9)
То есть берутся 4 направления и усредняются.
Для практической реализации погрешности решения можно применять правило Рунге, полагая P=4:
Метод наименьших квадратов
Поставим задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y=f(x). При этом потребуем, чтобы график искомой функции…
Наша задача – отыскать значения параметров a и b.
Рассмотрим функцию или
Задача сводится к отысканию минимума функции Ф(a,b). Используем необходимое условие экстремума: ; .
Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x
Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u
Получим функцию v = A u + B
Наша задача – отыскать значения параметров a, b и c.
Рассмотрим функцию .
Новости и инфо для студентов