рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Математические модели и численные методы

Математические модели и численные методы - раздел Математика, Математические Модели И Численные...

Математические модели и численные методы

Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы: 1. Математическая постановка задачи и построение математической модели. На… · определить, что дано, что надо получить;

Структура погрешности при решении задачи на ЭВМ

Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения: R – точное решение задачи (результат); – приближенное решение задачи;

Решение уравнений с одной переменной

 

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.

Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x*, которое обращает уравнение в верное равенство.

x* - корень уравнения F(x)=0x* - нуль функции y=F(x).

Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.

Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.

II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.

 

Отделение корней

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

I. Графический способ отделения корней

Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b)<0), то уравнение…      

II. Отделения корней программным способом.

  Правильность нахождения отрезков, содержащих один корень, зависит от характера функции y=F(x) и от величины шага h.…

Уточнение корней

Уточнение корней может осуществляться различными методами.

Метод половинного деления

2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. Разделим отрезок [a,b] пополам точкой . Если , то возможны два случая: 1) F(x) меняет знак на отрезке [a; c];

Метод хорд

2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. В качестве приближений к корню принимаются значения c0, c1, c2… точек пересечения хорды с осью абсцисс или

Метод касательных

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. На kой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=ck и… Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x0 имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0,…

Метод простой итерации

Теорема. Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены… 1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];

Оценка погрешности метода итераций

Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|. Для оценки погрешности n-го приближения используется формула . Приняв за… Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b]. Чем q меньше, тем быстрее…

Преобразование к итерационному виду

Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x) = x – m F(x). Исходя из третьего условия теоремы: ($q) ("xÎ[a,b]) [… Достаточно подобрать m так, чтобы выполнялось неравенство 0<mF’(x)<1, откуда следует и .

Постановка задачи

Ее можно записать в матричном виде A x = B, где

Метод Гаусса

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: Алгоритм состоит из двух этапов.

Метод простой итерации

1) r(x,y)³0 2) r(x,y)=0 • x=y 3) r(x,y)= r(y,x)

Решение СЛУ методом Зейделя

Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений yi учитываются уже полученные значения… I. Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного…  

Интерполирование функций

 

Постановка задачи

Требуется получить y=f(x) для xÏ[x0,xn], где x¹xi. При этом аналитическое выражение · не пригодно ля вычислений либо · неизвестно.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2). … Ln(x) ищем в виде Ln(x)= l0(x)+ l1(x)+ l2(x)+…+ ln(x), Где li(x) – многочлен степени n, причем

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Рассмотрим случай, когда h=xi+1 – xi=const (i=0, 1, …). Рассмотрим конечные разности: – конечные разности 1-го порядка – разности между значениями функции в соседних узлах.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени: Pn(x) = a0+ a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) +…+ an(x-x0)…(x-xn-1) (3) Коэффициенты a0, a1, …, an находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и многочлена Pn(x) в узлах…

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования… Pn(x) = a0+ a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) +…+ an(x-xn)…(x-x1) (4) Коэффициенты a0, a1, …, an находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и интерполяционного…

Численное дифференцирование

 

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx при стремлении Dx к нулю: .

Если

· производную от функции в данной точке аналитически найти не удается либо

· вычисление производной слишком громоздко или занимает очень много времени либо

· функция f(x) задана на конечном множестве точек {xi} (i=0,1,…,n),

то необходимо перейти к численному дифференцированию.

 

Вычисление производной по определению

Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x). Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет… Где Dx=x–x0 ,

Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа

Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а… Пусть функция y=f(x) определена на отрезке и в точках {xi} (i=0,1,2,…,n) этого… Разность между соседними значениями аргумента xi постоянна и является шагом h=xi– xi-1 (i=1, …,n) разбиения отрезка на…

Численное интегрирование

где F(x) – одна из первообразных функции f(x) (такая что F’(x)=f(x)). Однако функция f(x) может быть задана таблицей или графиком, а также… Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.

Формула трапеций

где , i=0,1,…,n при n=1. При i = 0 При i = 1

Формула Симпсона

где , i=0,1,…,n при n=2. При i = 0

Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования: (*) Тогда этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a, +¥) и обозначают .

Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε.

I. , a>0, p>1, C>0 Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .

Упрощение подынтегральных функций

Достаточные условия сходимости абсолютно сходящихся интегралов: · Если для любых значений x на промежутке [a, +¥) и сходится, то также… · Если функции |f(x)| и |g(x)| эквивалентны при x®¥ () и несобственный интеграл сходится, то сходится и…

Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и или не существует. Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом… Аналогично определяется несобственный интеграл в точке a.

Численное решение дифференциальных уравнений

Основные определения и постановка задачи

(1) Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка… График решения y=y(x) называется интегральной кривой.

Метод Эйлера

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен . Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h. Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид или , откуда y1=y0+hf(x0,y0).

Методы Рунге-Кутта

; (i=1, 2, …, m) (7) , Метод называют методом Рунге-Кутта порядка P, если от имеет P-й порядок точности по шагу h на сетке.

Классический метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка получаем при

P=4, c1=0, c2= c3=1/2, c4=1, d1=d4=1/6, d2=d3=1/3

Расчетные формулы имеют вид:

; (i=1, 2, …, m) (9)

То есть берутся 4 направления и усредняются.

Для практической реализации погрешности решения можно применять правило Рунге, полагая P=4:

 


Метод наименьших квадратов

Постановка задачи

Поставим задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y=f(x). При этом потребуем, чтобы график искомой функции…    

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции

Наша задача – отыскать значения параметров a и b. Рассмотрим функцию или Задача сводится к отысканию минимума функции Ф(a,b). Используем необходимое условие экстремума: ; .

Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций

Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u Получим функцию v = A u + B

Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции

Наша задача – отыскать значения параметров a, b и c. Рассмотрим функцию .

– Конец работы –

Используемые теги: Математические, модели, Численные, Методы0.071

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математические модели и численные методы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Математические модели и численные методы
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на... Корнем уравнения F x называется такое значение x которое обращает уравнение в верное равенство...

Численные методы решения краевых задач математической физики
На сайте allrefs.net читайте: "Численные методы решения краевых задач математической физики"

Методы решения жестких краевых задач, включая новые методы и программы на С++ для реализации приведенных методов
Стр. 8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.Стр. 9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки… Стр. 10. Метод половины констант. Стр. 11. Применяемые формулы… Стр. 62. 18. Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Стр. 19. Авторство.…

Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Воронежская государственная лесотехническая академия Математические методы и модели в расчетах на...

Численные методы решения разностных уравнений математической физики
На сайте allrefs.net читайте: "Численные методы решения разностных уравнений математической физики"

Применение информатики, математических моделей и методов в управлении
Ускорение темпов научно-технического прогресса влечет за собой небывалый рост объемов производства и его концентрации. Возросшая сложность и динамичность производства, развитие специализации… Огромное количество информации, которую необходимо качественно переработать и представить в виде планов, различного…

Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева
При прямом включении на каждом шаге рассматриваются только один очередной элемент исходной последовательности и все элементы готовой… Полностью алгоритм прямого выбора приводится в прогр. 3. Таблица 2. Пример… Можно сказать, что в этом смысле поведение этого метода менее естественно, чем поведение прямого включения.Для С имеем…

Рабочая программа дисциплины модуля: Численные методы и математическое моделирование
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего... УТВЕРЖДАЮ...

Курсовая работа По дисциплине Математические модели и методы в торфяном производстве
Белорусский национальный технический университет... Факультет горного дела и инженерной экологии... Кафедра Горные машины...

по курсу “Математические модели и методы исследования
На сайте allrefs.net читайте: по курсу “Математические модели и методы исследования...

0.054
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам