«Теория вероятностей и
математическая статистика»
(пособие для учащихся)
Теория вероятности - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20о, то событие ввода в сосуде находится в жидком состоянии? есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие вода в сосуде находится в твердом состоянии заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S из предыдущего примера(20о, нормальное атмосферное давление).
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие при бросании монеты выпал герб - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.
По-иному обстоят дело, если рассматривать случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, то есть если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
Следовательно, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.
В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.
Тема 1
Элементы комбинаторики
1.1. Предмет комбинаторики.
1.2. Правила комбинаторики (сложения и произведения).
1.3. Понятие факториала.
1.4. Перестановки.
1.5. Размещения.
1.6. Сочетания.
1.1. Предмет комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino — соединяю. Действительно, при получении любой комбинации мы составляем ее из отдельных элементов, последовательно соединяя их друг с другом. Чаще всего эти элементы выбираются из некоторого конечного множества.