рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

«Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся)

«Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся) - раздел Математика, Министерство Сельского Хозяйства И Продовольствия Республики Беларусь ...

Министерство сельского хозяйства и продовольствия Республики Беларусь

УО «Бобруйский государственный аграрно-экономический колледж»

 

 

В.П. Кошелева

«Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся)

Правила комбинаторики

Пример 1.1. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3. На первое место цифру можно выбрать тремя способами,… 11, 12, 13; 21, 22, 23;

Понятие факториала

п-факториал - произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно.

.

Пример 1.4. 1) ,

2) .

Следует отметить, что 0! = 1.

Перестановки

.   Пример 1.5.Из букв A, B, C можно составить следующие перестановки:

Размещения

Размещения обозначаются , где n – числи всех имеющихся элементов, m – число элементов к каждой комбинации.

Сочетания

Сочетания обозначаются и находятся по формуле: . Пример 1.9. Из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя…

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1. Упростить: а) ; б) ; в) .

Задание 1.2. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Задание 1.3. Вычислить: а) ; б) .

Задание 1.4. Вычислить: а) ; б) .

Задание 1.5. Докажите равенство, связывающее между собой числа перестановок, размещений и сочетаний.

Задание 1.6. В автомобиле 5 мест. Сколькими способами пять человек могут занять места для путешествия, если водить машину могут только трое из них.

Задание 1.7. После хоккейного матча каждый игрок одной команды пожал руку каждому игроку другой. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 323 рукопожатия?

 


Тема 2

Случайные события и вероятности

2.1. Понятие случайного события.

2.2. Виды случайных событий.

2.3. Операции над событиями.

2.4. Классическая вероятность и ее свойства.

2.5. Статистическое определение вероятности.

2.6.Геометрическое определение вероятности.

2.7. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Понятие случайного события

Под опытом, или экспериментом, или испытанием будем понимать осуществление конкретного комплекса условий.

Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Пример 2.1. Подбрасывание монеты;

Процесс изготовления какой-либо детали.

Всякий результат опыта называется событием.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, … Пример 2.2. Событие А – «попадание в мишень при стрельбе», событие В – «появление герба при бросании монеты».

Виды случайных событий

События, которые происходят при каждом экспериментеназываютсядостоверными. Пример 2.3. Событие А - «на игральном кубике выпадет 7 очков» — невозможное, а… Два события называютсянесовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. В противном…

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называются элементарным исходом (элементарным событием, шансом).

Пример 2.8. События Аi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – «верхней гранью, появляющейся при подбрасывании игрального кубика, оказалась грань с цифрой i» – элементарные исходы.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприпятсвующими этому событию, или благоприятными.

Пример 2.9. При подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А2, А4, А6 являются благоприятными для события «выбыло четное число».

 

Операции над событиями

Дадим определения действий, которые можно производить над событиями.

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называетсячастным случаем события B.

Говорят также, что А влечет за собой B и пишут:

А Ì B или B É A.

Пример 2.10. При бросании игральной кости событие А, состоящее в появлении двух очков, есть частный случай события B, состоящего в появлении четного числа очков.

Если А влечет за собой B, а B влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Суммойдвух событий A и B называется событие A+B ( AÈB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий A или B.

Пример 2.11. Суммой событий А – «появление одного очка при бросании игральной кости» и события В – «появление двух очков при бросании игральной кости» является событие А + В – «появление не больше двух очков при бросании игральной кости»

Произведением двух событий A и B называется событие AB (AÇB), состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно A и B.

Пример 2.12. Если событие А – «деталь годная», событие В – «деталь окрашенная», то событие АВ – «деталь годна и окрашена».

Разностью двух событий A и B называют событие A\B, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие B.

Операции над событиями подчинены следующим правилам:

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.

 

 

Классическая вероятность и ее свойства

Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р – первая буква французского слова probabilite – вероятность).

В соответствии с определением

,

где – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

- общее число возможных элементарных исходов испытания.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Часто число называют относительной частотой появления события А в опыте.

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.

Иногда вероятность выражают в процентах: Р(А) • 100% есть средний процент числа появлений события A.

Пример 2.13. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение.

Обозначим через А событие — «набрана нужная цифра».

Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Формула классической вероятности дает очень простой, не требующий проведения экспериментов, способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы очень обманчива. Дело в том, что при ее использовании возникают, как правило, два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможны, и можно ли это сделать вообще?

2. Как найти числа m и n?

Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные исходы увидеть не всегда просто.

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Пример 2.14. (ошибка Даламбера). Подбрасываются две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. Обе монеты упадут на «орла»;

2. Обе монеты упадут на «решку»;

3. Одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Правильное решение.

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1. Первая монета упадет на «орла», вторая тоже на «орла»;

2. Первая монета упадет на «решку», вторая тоже на «решку»;

3. Первая монета упадет на «орла», а вторая — на «решку»;

4. Первая монета упадет на «решку», а вторая — на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта.

 

Алгоритм решения задач на классическую вероятность:

1. Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечисление (полное или частичное).

2. Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опыте; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и т.д.).

3. Подсчет общего числа исходов опыта n.

4. Описание благоприятных для события A исходов, их перечисление (полное или частичное). Если все исходы уже выписаны, то можно просто отметить среди них благоприятные для A.

5. Подсчет числа благоприятных для события A исходов m.

6. Вычисление вероятности по формуле .

7. Оценка и интерпретация полученного результата.

 

Вероятность события имеет следующие свойства:

1. Для любого события А справедливо неравенство:

0 £ P(A) £ 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность достоверного события равна единице.

4. Если события образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

5. Вероятность противоположного события:

6. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.

 

Статистическое определение вероятности

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистиче-

статистическую вероятность события.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

 

Геометрическое определение вероятности

Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность, что эта точка окажется в Белоруссии? Очевидно, для ответа на вопрос нужно… Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой ограниченной…  

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий. Вероятность суммы… Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Задания для самостоятельного решения

Задание 2.1. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная я 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Задание 2.2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная я 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Задание 2.3. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Задание 2.4. На отрезке длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задание 2.5. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Задание 2.6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Задание 2.7. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

Задание 2.8. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устрой­ства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Задание 2.9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Задание 2.10. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму—0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.


Тема 3

Повторные испытания

 

3.1. Формула Бернулли.

3.2. Локальная теорема Лапласа.

3.3. Интегральная теорема Лапласа.

 

Формула Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность… Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при п испытаниях… Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Локальная теорема Лапласа

Например, если п = 50, k = 30, р = 0,1, то для отыскания вероятности надо вычислить выражение где , ,

Интегральная теорема Лапласа

На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и… где и

Задания для самостоятельного решения

Задание 3.1. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Задание 3.2. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Задание 3.3. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.


Тема 4

Случайные величины

 

4.1. Понятие случайной величины.

4.2. Виды случайных величин.

4.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

4.4. Функция распределения.

4.5. Математическое ожидание случайной величины.

4.6. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

 

Понятие случайной величины

Пример 4.1. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от… Пример 4.2. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная… Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными…

Виды случайных величин.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные… Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает… Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величиныназывают соответствие между возможными значениями х1, х2, х3, … и их вероятностями р1, р2, р3,… Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные…

Функция распределения.

где – плотность распределения вероятностей. Плотностью распределениянепрерывной случайной величиныХ называют предел, если он существует, отношения вероятности…

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1].

2. F (х) – неубывающая функция, т. е. F (x2) > F (x1), если х2 > х1.

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b),равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a < X < b) = F(b) – F (a).

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то:

1) F(x) = 0, при ;

2) F (х) = 1 при .

 

Математическое ожидание случайной величины

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной… Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их…

Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

Есть еще одна характеристика, которая зачастую несет не менее важную информацию, — это разброс (или рассеивание) случайной величины вокруг ее… Дисперсиейслучайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее…

Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Задание 4.2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Задание 4.3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

Задание 4.6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Х -5
р 0,4 0,3 0,1 0,2

Тема 5

Некоторые законы распределения случайных величин

 

5.1. Биноминальное распределение.

5.2. Распределение Пуассона.

5.3. Равномерное распределение.

5.4. Нормальное распределение.

 

Биноминальное распределение

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях. Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее… ,

Распределение Пуассона.

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях. Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то вероятность того, что…

Равномерное распределение

Выражение плотности распределения вероятностей имеет следующий вид: Функция равномерного распределения задается формулой:

Нормальное распределение.

где – параметры нормального распределения. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

Задание 5.2. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: средняя масса одной коробки – 1,06 кг. Известно, что только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение, предполагая, что масса коробок распределена нормально.

Задание 5.3. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а, b).


Тема 6

Двухмерные случайные величины

6.1. Понятие о системе нескольких случайных величин

6.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

6.3. Функция распределения двумерной случайной величины

6.4. Плотность непрерывной двумерной случайной величины

6.5. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин

Понятие о системе нескольких случайных величин

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения… Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и У называют составляющей…

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (хi, yj) и их… Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть… а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

Функция распределения двумерной случайной величины

 

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют функцию F (х, у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

F(x,y) = P(X < x, Y < y).

Геометрически это равенство можно истолковать так:

F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

2. F (х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу.

3. Имеют место предельные соотношения:

1) 2)

3) 4)

4. При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

.

При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У:

.

 

Плотность непрерывной двумерной случайной величины

Будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых)… Плотностью совместного распределения вероятностей f(х, у) двумерной…

Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин

Начальным моментом vk,s порядка k + s системы (X, Y) называют математическое… vk,s = М[XkYs].

Задания для самостоятельного решения

Задание 6.1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y Х
0,12 0,18 0,06
0,31 0,24 0,09

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задание 6.2. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта B – 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X – индикатор дефекта А, а Y – индикатор дефекта B. Составить матрицу вероятностей двухмерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и Y и исследовать их зависимость.

Задание 6.3. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, У): f(х, y)= (1/2) sin (x +y)в квадрате вне квадрата f(x, у) = 0. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.


Тема 7

Элементы математической статистики

 

7.1. Предмет математической статистики.

7.2.Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка.

7.3. Основные виды выборок.

7.4. Способы отбора.

7.5. Вариационный ряд.

7.6. Графическое представление вариационных рядов.

Эмпирическая функция распределения.

Числовые характеристики выборки.

 

Предмет математической статистики

Математическая статистка является разделом математики, непосредственно примыкающим к теории вероятностей. В ней рассматриваются приближенные методы… Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате… Математическая статистика подразделяется на две обширные области:

Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка

Пример 7.1. Если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер… Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов… Вся подлежащая изучению совокупность объектов наблюдений называют генеральной совокупностью.

Основные виды выборок

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторнойназывают выборку, при которой отобранный объект в генеральную… На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Способы отбора

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор (объекты извлекают по одному из всей… б) простой случайный повторный отбор.

Вариационный ряд

Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, получены числовые значения х1, х2, . . ., хп. Располагают эти значения в… Число, показывающее, сколько раз встречается в выборке вариант , называют… Отношение числа вариантов к объему выборки (или общему числу наблюдений) называют относительной частотой наблюдения. …

Графическое представление вариационных рядов

Для повышения наглядности вариационных рядов, используется их графическое представление. Наиболее распространенными способами графического представления являются гистограмма и полигон частот.

Гистограмма

Гистограмма используется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признаков и состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно ширине интервала группировки, а высота его такова, что площадь прямоугольника пропорциональна частоте (или относительной частоте) попадания в данный интервал. Если ряд безинтервальный, то ширина всех столбцов выбирается произвольной, но одинаковые.

На графике гистограммы основание прямоугольников откладывается по оси x, а высота — по оси у прямоугольной системы координат.

Пример 7.5.

Рис 7.1. Гистограмма количества нарушений скорости (пример 6.3.)

Рис. 7.2. Гистограмма итогов сдачи экзамена (пример 6.4.)

Полигон частот

Из сравнения двух рассмотренных способов графического представления эмпирических распределений следует, что для получения полигона частот из… Полигончастот используется для представления распределений как непрерывных,… Пример 7.6.

Эмпирическая функция распределения

, где пх — количество вариант, значения которых меньше чем х; п — объем выборки.

Числовые характеристики выборки

Вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Но они недостаточны для полной характеристики выборки, поскольку содержат много деталей, охватить которые невозможно без применения обобщающих числовых характеристик.

Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.

Характеристики положения

Чаще всего употребляются такие характеристики положения, как среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака… Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь… Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным…

Медиана

Если данных немного (объем выборки невелик), медиана вычисляется очень просто. Для этого выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке… Пример 7.8. Имеется ранжированная выборка, содержащая нечетное число членов n = 9:

Мода

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто.

Ряд называется унимодальным, если в нем только одно модальное значение и полимодальным, если есть несколько значений признака, которые встречаются одинаково часто. Для полимодального ряда моду не вычисляют.

Для дискретного ряда мода находится по определению.

Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.

Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула:

где — нижняя граница модального интервала;

h — ширина интервала группировки;

nMo — частота модального интервала;

nMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

nMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Характеристики рассеяния

Средние значения не дают полной информации о варьирующем признаке. Нетрудно представить себе два эмпирических распределения, у которых средние одинаковы, но при этом у одного из них значения признака рассеяны в узком диапазоне вокруг среднего, а у другого – в широком. Поэтому наряду со средними значениями вычисляют и характеристики рассеяния выборки. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Размах вариации

Размах вариации – разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

.

Как видим, размах вычисляется очень просто, и в этом его главное и единственное достоинство. Информативность этого показателя невелика. Можно привести очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. Размах вариации используется иногда в практических исследованиях при малых (не более 10) объемах выборки, Например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов. При больших объемах выборки к его использованию надо откоситься с осторожностью.

Дисперсия и стандартное отклонение

Выборочную дисперсию вычисляют по приведенным ниже формулам: для несгруппированных данных:

Коэффициент вариации

Обычно он выражается в процентном отношении: Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент осцилляции

Литература: Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд.,…

Задания для самостоятельного решения

Задание 7.1. Выборка задана в виде распределения частот:

X
ni

Найти распределение относительных частот. Найти эмпирическую функцию. Построить полигон частот и гистограмму.

Задание 7.2. Выборка сгруппированных данных случайной величины Х определена таблицей:

X
ni

Найти числовые характеристики выборки.

Задание 7.3. Выборка сгруппированных данных случайной величины Х определена таблицей:

X 10-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80
ni

Найти числовые характеристики выборки, эмпирическую функцию. Построить полигон частот, гистограмму и график эмпирической функции.


Тема 8

Теория оценок

8.1. Статистические оценки параметров распределения. 8.2.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. 8.3. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.

Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

Пусть — статистическая оценка неизвестного параметра θ теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема п найдена оценка .… Повторяя опыт многократно, получим числа , , ..., , которые, вообще говоря,… Представим себе, что оценка дает приближенное значение с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число (i =…

Точность оценки, доверительная вероятность (надежность).

Доверительный интервал

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине… Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами — концами… Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать…

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения… Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней.…

Задания для самостоятельного решения

Задание 8.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 50:

xi
ni

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Задание 8.2. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106.

Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Тема 9

Статистические гипотезы

 

9.1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.

9.2.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

 

Статистическая гипотеза.

Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы

Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения. Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры… Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие…

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Требуется сравнить эти дисперсии. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимостипроверить нулевую…

Задания для самостоятельного решения

Задание 9.1. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 11 и n2 =14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 0,76 и = 0,38. При уровне значимости а = 0,05, проверить нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н1: D(X) > D(Y).

Задание 9.2. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 9 и n2=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =34,02 и = 12,15. При уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1: D(X) < D(Y).


Вопросы к экзамену

1. Предмет теории вероятностей.

2. Правила комбинаторики (сложения и произведения).

3. Типы комбинаторных комбинаций. Перестановки.

4. Типы комбинаторных комбинаций. Размещения.

5. Типы комбинаторных комбинаций. Сочетания.

6. Понятие случайного события.

7. Виды случайных событий.

8. Операции над событиями.

9. Классическая вероятность и ее свойства.

10. Алгоритм решения задач на классическую вероятность.

11. Статистическое определение вероятности.

12. Геометрическое определение вероятности.

13. Теоремы сложения вероятностей.

14. Теоремы умножения вероятностей.

15. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

16. Формула Бернулли.

17. Локальная теорема Лапласа.

18. Интегральная теорема Лапласа.

19. Понятие случайной величины.

20. Виды случайных величин.

21. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

22. Многоугольник распределения.

23. Функция распределения.

24. Математическое ожидание случайной величины.

25. Свойства математического ожидания.

26. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

27. Свойства дисперсии.

28. Биноминальное распределение.

29. Распределение Пуассона.

30. Равномерное распределение.

31. Нормальное распределение.

32. Понятие о системе нескольких случайных величин.

33. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

34. Функция распределения двумерной случайной величины.

35. Плотность непрерывной двумерной случайной величины.

36. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин.

37. Предмет математической статистики.

38. Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка.

39. Основные виды выборок.

40. Способы отбора выборок.

41. Вариационный ряд.

42. Графическое представление вариационных рядов. Гистограмма.

43. Графическое представление вариационных рядов. Полигон частот.

Эмпирическая функция распределения.

Числовые характеристики выборки. Характеристики положения.

Числовые характеристики выборки. Характеристики рассеяния.

47. Статистические оценки параметров распределения.

48. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

49. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.

50. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.

51. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Приложение 1

 

Таблица значений функции

x
0,0 0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

 

Приложение 2

 

Таблица значений функции

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)
0,00 0,0000 0,43 0,1664 0,86 0,3051 1,29 0,4015 1,72 0,4573 2,30 0,4893
0,01 0,0040 0,44 0,1700 0,87 0,3078 1,30 0,4032 1,73 0,4582 2,32 0,4898
0,02 0,0080 0,45 0,1736 0,88 0,3106 1,31 0,4049 1,74 0,4591 2,34 0,4904
0,03 0,0120 0,46 0,1772 0,89 0,3133 1,32 0,4066 1,75 0,4599 2,36 0,4909
0,04 0,0160 0,47 0,1808 0,90 0,3159 1,33 0,4082 1,76 0,4608 2,38 0,4913
0,05 0,0199 0,48 0,1844 0,91 0,3186 1,34 0,4099 1,77 0,4616 2,40 0,4918
0,06 0,0239 0,49 0,1879 0,92 0,3212 1,35 0,4115 1,78 0,4625 2,42 0,4922
0,07 0,0279 0,50 0,1915 0,93 0,3238 1,36 0,4131 1,79 0,4633 2,44 0,4927
0,08 0,0319 0,51 0,1950 0,94 0,3264 1,37 0,4147 1,80 0,4641 2,46 0,4931
0,09 0,0359 0,52 0,1985 0,95 0,3289 1,38 0,4162 1,81 0,4649 2,48 0,4934
0,10 0,0398 0,53 0,2019 0,96 0,3315 1,39 0,4177 1,82 0,4656 2,50 0,4938
0,11 0,0438 0,54 0,2054 0,97 0,3340 1,40 0,4192 1,83 0,4664 2,52 0,4941
0,12 0,0478 0,55 0,2088 0,98 0,3365 1,41 0,4207 1,84 0,4671 2,54 0,4945
0,13 0,0517 0,56 0,2123 0,99 0,3389 1,42 0,4222 1,85 0,4678 2,56 0,4948
0,14 0,0557 0,57 0,2157 1,00 0,3413 1,43 0,4236 1,86 0,4686 2,58 0,4951
0,15 0,0596 0,58 0,2190 1,01 0,3438 1,44 0,4251 1,87 0,4693 2,60 0,4953
0,16 0,0636 0,59 0,2224 1,02 0,3461 1,45 0,4265 1,88 0,4699 2,62 0,4956
0,17 0,0675 0,60 0,2257 1,03 0,3485 1,46 0,4279 1,89 0,4706 2,64 0,4959
0,18 0,0714 0,61 0,2291 1,04 0,3508 1,47 0,4292 1,90 0,4713 2,66 0,4961
0,19 0,0753 0,62 0,2324 1,05 0,3531 1,48 0,4306 1,91 0,4719 2,68 0,4963
0,20 0,0793 0,63 0,2357 1,06 0,3554 1,49 0,4319 1,92 0,4726 2,70 0,4965
0,21 0,0832 0,64 0,2389 1,07 0,3577 1,50 0,4332 1,93 0,4732 2,72 0,4967
0,22 0,0871 0,65 0,2422 1,08 0,3599 1,51 0,4345 1,94 0,4738 2,74 0,4969
0,23 0,0910 0,66 0,2454 1,09 0,3621 1,52 0,4357 1,95 0,4744 2,76 0,4971
0,24 0,0948 0,67 0,2486 1,10 0,3643 1,53 0,4370 1,96 0,4750 2,78 0,4973
0,25 0,0987 0,68 0,2517 1,11 0,3665 1,54 0,4382 1,97 0,4756 2,80 0,4974
0,26 0,1026 0,69 0,2549 1,12 0,3686 1,55 0,4394 1,98 0,4761 2,82 0,4976
0,27 0,1064 0,70 0,2580 1,13 0,3708 1,56 0,4406 1,99 0,4767 2,84 0,4977
0,28 0,1103 0,71 0,2611 1,14 0,3729 1,57 0,4418 2,00 0,4772 2,86 0,4979
0,29 0,1141 0,72 0,2642 1,15 0,3749 1,58 0,4429 2,02 0,4783 2,88 0,4980
0,30 0,1179 0,73 0,2673 1,16 0,3770 1,59 0,4441 2,04 0,4793 2,90 0,4981
0,31 0,1217 0,74 0,2703 1,17 0,3790 1,60 0,4452 2,06 0,4803 2,92 0,4982
0,32 0,1255 0,75 0,2734 1,18 0,3810 1,61 0,4463 2,08 0,4812 2,94 0,4984
0,33 0,1293 0,76 0,2764 1,19 0,3830 1,62 0,4474 2,10 0,4821 2,96 0,4985
0,34 0,1331 0,77 0,2794 1,20 0,3849 1,63 0,4484 2,12 0,4830 2,98 0,4986
0,35 0,1368 0,78 0,2823 1,21 0,3869 1,64 0,4495 2,14 0,4838 3,00 0,49865
0,36 0,1406 0,79 0,2852 1,22 0,3883 1,65 0,4505 2,16 0,4846 3,20 0,49931
0,37 0,1443 0,80 0,2881 1,23 0,3907 1,66 0,4515 2,18 0,4854 3,40 0,49966
0,38 0,1480 0,81 0,2910 1,24 0,3925 1,67 0,4525 2,20 0,4861 3,60 0,499841
0,39 0,1517 0,82 0,2939 1,25 0,3944 1,68 0,4535 2,22 0,4868 3,80 0,499928
0,40 0,1554 0,83 0,2967 1,26 0,3962 1,69 0,4545 2,24 0,4875 4,00 0,499968
0,41 0,1591 0,84 0,2995 1,27 0,3980 1,70 0,4554 2,26 0,4881 4,50 0,499997
0,42 0,1628 0,85 0,3023 1,28 0,3997 1,71 0,4564 2,28 0,4887 5,00 0,499997

 


 

Дополнительная литература

1. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Высшая школа, 1989.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1988.

3. Гнеденко Б.B. Курс теории вероятностей: Учебник. М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. Ш, Учеб.пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1971.

5. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике с основами математической статистки и теории вероятностей. Мн.: Высшая школа, 1966.


Содержание

Предмет теории вероятностей…………………………………………………………
Тема 1. Элементы комбинаторики………………………………………………….
1.1.Предмет комбинаторики………………………………………………………….
1.2. Правила комбинаторики (сложения и произведения)…………………………...
1.3. Понятие факториала………………………………………………………………
1.4. Перестановки……………………………………………………………………….
1.5. Размещения………………………………………………………………………..
1.6. Сочетания…………………………………………………………………………..
Тема 2. Случайные события и вероятности……………………………………….
2.1. Понятие случайного события……………………………………………………..
2.2. Виды случайных событий…………………………………………………………
2.3. Операции над событиями………………………………………………………….
2.4. Классическая вероятность и ее свойства…………………………………………
2.5. Статистическое определение вероятности………………………………………
2.6. Геометрическая вероятность……………………………………………………...
2.7. Теоремы сложения и умножения вероятностей …………………………………
2.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса. ……………………………….
Тема 3. Повторные испытания…………………………………………………….....
3.1. Формула Бернулли…………………………………………………………………
3.2. Локальная теорема Лапласа……………………………………………………….
3.3. Интегральная теорема Лапласа…………………………………………………..
Тема 4. Случайные величины……………………………………………………….
4.1. Понятие случайной величины.……………………………………………………
4.2. Виды случайных величин. ………………………………………………………..
4.3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины………..
4.4. Функция распределения…………………………………………………………..
4.5. Математическое ожидание случайной величины………………………………
4.6. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение………
Тема 5. Некоторые законы распределения случайных величин……………….
5.1. Биноминальное распределение…………………………………………………...
5.2. Распределение Пуассона………………………………………………………….
5.3. Равномерное распределение………………………………………………………
5.4. Нормальное распределение……………………………………………………….
Тема 6. Двухмерные случайные величины………………………………………….
6.1. Понятие о системе нескольких случайных величин……………………………….
6.2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
6.3. Функция распределения двумерной случайной величины…………………………
6.4. Плотность непрерывной двумерной случайной величины ………………………..
6.5. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин……
Тема 7. Элементы математической статистики…………………………………..
7.1. Предмет математической статистики……………………………………………
7.2.Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка………...
7.3. Основные виды выборок………………………………………………………….
7.4. Способы отбора…………………………………………………………………….
7.5. Вариационный ряд…………………………………………………………………
7.6. Графическое представление вариационных рядов………………………………
7.7.Эмпирическая функция распределения…………………………………………...
7.8. Числовые характеристики выборки………………………………………………
Тема 8.Теория оценок…………………………………………………………………
8.1. Статистические оценки параметров распределения…………………………….
8.2.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки…………………………
8.3. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал…….
Тема 9.Статистические гипотезы…………………………………………………
9.1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы…………………………………………………………………………..
9.2.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей………..
Вопросы к экзамену ……………………………………………………………..
Приложения………………………………………………………………………..
Дополнительная литература……………………………………………………...

 

– Конец работы –

Используемые теги: Теория, вероятностей, Математическая, Статистика, пособие, учащихся0.243

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: «Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся)

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Методические указания к изучению дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... МОСКОВСКОГО ФИНАНСОВО ЮРИДИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МФЮА...

Краткий курс лекций по статистике Модуль 1. Теория статистики Глава 1. Статистика как наука и методы статистического исследования
Модуль Теория статистики... Глава Статистика как наука и методы статистического исследования... Цель ввести основные понятия статистики рассмотреть задачи статистики на современном...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ... ПО МАТЕМАТИКЕ...

Теория вероятностей и математическая статистика
Предлагаемые методические указания предназначены для выполнения контрольной... Особенностью данного пособия является то обстоятельство что рассматриваемые задачи в данном пособии подобраны так...

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное образовательное учреждение высшего... КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Краткий курс лекций по статистике Модуль 1. Теория статистики Глава 1. Статистика как наука и методы статистического исследования
Модуль Теория статистики... Глава Статистика как наука и методы статистического исследования... Цель ввести основные понятия статистики рассмотреть задачи статистики на современном...

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Филиал в г Ессентуки... ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА...

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ По дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
По дисциплине... Теория вероятностей и математическая статистика... для студентов бакалавриата II курса всех направлений...

Контрольная работа по теории вероятностей И математическая статистика
И математическая статистика... Для заочного отделения... Вариант...

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ ТЕМА 1. СТАТИСТИКА КАК НАУКА
ТЕМА СТАТИСТИКА КАК НАУКА... Общее представление о статистике Основные понятия и категории статистической науки Понятие статистической...

0.059
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам