Математические сведения. Этот параграф является математическим введением к тому динамическому рассмотрению волн, которое будет дано в 2. Рассмотрим произвольную функцию fat-bx 2.3 от аргумента аt bх. Продифференцируем ее дважды по t 2.4 Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at bx. Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х 2.5 Сравнивая 2.4 и 2.5, мы убеждаемся, что функция 2.3 удовлетворяет уравнению 2.6 где uab. Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция fatbx 2.7 2.7 аргумента atbx, а также сумма функций вида 2.3 и 2.7. Функции 2.3 и 2.7 изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х. Уравнение 2.6 дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением.
В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида 2.3 и 2.7 или суперпозицией таких функций, например, f1at - bх f2atbx. Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида 2.6а мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн. Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.
Пусть источником волн является плоскость х0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s Acoswt.
В этом случае от плоскости х0 распространяются вправо и влево волны s Acoswt kx, k. Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s1, s2,s3, в отдельности, то ему удовлетворяет также функция S S1 S2 S3 принцип, суперпозиции.
Рассмотрим несколько примеров. а Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны s1 Aсоswt kx, s2 Acoswtkx. На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна s2Acoskx coswt являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн. б Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида S Это функция вида fat bx она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х. в Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой.
В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S1 S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, волны пройдут одна сквозь другую и притом каждая так, как будто другой не существует. 2.