Упругие волны в стержне. волновое уравнение.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат. Рисунок 4 Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х х. Масса этого куска равна р0S х, где р0 и S0 соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации.
Пусть смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда слева стоит произведение массы куска на ускорение д дt2 его центра тяжести, справа результирующая внешних сил, действующая на кусок. Разделим уравнение на S 2.7 Перейдя к пределу при, получим уравнение 2.8 справедливое в каждой точке стержня.
Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке. Подставляя в 2.8 соотношение 2.7, получим 2.9 Вспомнив теперь формулу, содержащую определение деформации, и подставив ее в 2.9, получаем 2.10 Это волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн 2.11 или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн скорость звука в стержне 2.12 мы опускаем для краткости индекс 0 у р. Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал.
Формула 2.12 одна из основных формул акустики. Наряду со смещением нас интересуют скорость v, с которой .движутся отдельные плоскости х const не смешивать с u, деформация и напряжение. Дифференцируя 2.11 по t и но x, получаем v uf x ut 2.13a fx ut, 2.13б Ef x ut. 2.13в Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.
На рис. 5 показан пример моментальных снимков, относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной fx ut. Физическая интерпретация здесь очевидна около максимума или минимума смещения соседние бесконечно близкие точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия в тот момент, когда смещение достигает максимума минимума, его возрастание сменяется убыванием или наоборот. Сравнивая формулы 2.13а, 2.13в и принимая во внимание 2.12 мы видим, что 2.14 где 2.15 есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала.
Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой.
Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями 2.14 и законом Ома р аналогично разности потенциалов, v - силе тока. 2.