Упругие волны в газах и жидкостях. Волновое уравнение. Мы рассматриваем здесь газ или жидкость так же как твердое тело в предыдущих параграфах как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем как и в 1 общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню 1. Мы придем, таким образом, к уравнению 2.16 где р есть давление в газе или жидкости. Здесь значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, не зависят ни от х, ни от t. Уравнение 2.16 применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе.
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа или жидкости и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении.
Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности, и следовательно, давление также. При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры.
Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли. В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями например вода, при температуре ниже 4 С температура растет при сжатии и уменьшается при расширении. Есть однозначная функция плотности pfp. 2.17 Введем обозначения , 2.18 где и соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия. Подставляя первую формулу 2.18 в 2.16 и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е. получаем 2.19 Найдем теперь связь между и деформацией. Мы сначала выразим через, а затем через а Подставляя 6.28 в 6.27, имеем P0 f разлагая f в ряд по степеням , P0 f f 12f 2 Так как P0f, то получаем f 12f 2 2.20 Здесь мы сделаем существенное предположение будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении 2.20 членами, пропорциональными 2, 3 и заменить 2.20 линейным соотношением f Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности. f постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии. б Объем V0 в результате деформации превращается в объем VV0 1 , 2.21 так как здесь поперечный размер в отличие от твердого стержня остается, постоянным, а длина превращается в. Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется Подставляя 2.18 и 2.21, получаем Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины, получаем Таким образом, 2.22 Подставляя, наконец, 2.22 в 2.19, мы получаем волновое уравнение 2.23 2.24 Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн скорость распространения скорость звука тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны . 2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния pVRT, 2.25 где p давление, V объем одного моля, R универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эргград, T температура, измеренная по термодинамической шкале абсолютная температура, или где М масса 1 моля, MV плотность.
Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы. Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение 2.17 имеет вид 2.26 где постоянная величина С и С теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме.
Следовательно, здесь 2.27 формула Лапласа.
Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон.
Он считал, что 2.26а т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение 2.27а Это соотношение можно получить из уравнения 2.24, подставляя в него 2.26а вместо 2.26. Для воздуха 1,4 при комнатной температуре 20 С, Т 293 формула Ньютона дает u 290 мсек, формула Лапласа и 340 мсек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт гл. V, 3, мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом.
Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов но крайней мере при не очень высоких частотах.
Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.