Аппроксимации при численном моделировании. Для построения моделей реальных распределений ЭП возможно применение целого ряда аппроксимаций.
Все они могут быть разделены на два класса. 1. Аппроксимации, строящиеся по набору из произвольного числа узлов.
Наиболее распространенные из них кусочно-постоянная, кусочно-линейная и сплайном.
В условиях нашей задачи указанные аппроксимации имеют несколько существенных недостатков Результаты аппроксимаций слабо согласуются с реальностью. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная аппроксимации принципиально являются негладкими, а аппроксимация сплайном сглаживает все, в результате чего возникают значительные немонотонности и всплески.
При увеличении количества узлов аппроксимации быстро нарастает неустойчивость процесса решения обратной задачи, для противодействия которой требуется применение искусственных приемов, не гарантирующих успеха.
В реальных условиях мы не имеем достоверной априорной информации о величине ЭП в узлах аппроксимации, расположенных в глубине пластины. 2. Аппроксимации, строящиеся по значениям ЭП на верхней и нижней поверхностях пластины и нескольким параметрам аппроксимации.
Наиболее известные из них экспоненциальная, гиперболическим тангенсом и гауссоидой.
Аппроксимации имеют вид - аппроксимация экспоненциальная - аппроксимация гиперболическим тангенсом - аппроксимация гауссоидой где x - координата, равна нулю на нижней поверхности пластины и единице на верхней 1 - величина электропроводности на верхней поверхности пластины 2 - величина электропроводности на нижней поверхности пластины - коэффициент, характеризующий крутизну экспоненты - коэффициент - коэффициент, характеризующий крутизну 0 соответствует случаю слоя с проводимостью 1 и толщиной на полупространстве с проводимостью 2 - коэффициент, характеризующий крутизну Для нашей задачи подобные аппроксимации являются предпочтительными, поскольку обладают заметными достоинствами Аппроксимации являются монотонными и гладкими, что хорошо согласуется с физической реальностью.
Пользуясь физически обоснованными рассуждениями мы можем получить необходимую априорную информацию о величинах ЭП в приповерхностных слоях пластины.
Процесс решения обратной задачи существенно более устойчив и осуществляется значительно быстрее Для иллюстрации наших рассуждений приведем пример применения приведенных выше аппроксимаций к случаю восстановления кусочно-линейной функции. По оси абсцисс отложена относительная глубина, по оси ординат электропроводность МСм м. На графике показаны аппроксимации кусочно постоянная SIci, кусочно линейная SIli, сплайн SIs, экспоненциальная SIe, гиперболическим тангенсом Sith, гауссоидой SIg. Легко заметить, что аппроксимация гиперболическим тангенсом хорошо описывает приповерхностные изменения аналогично экспоненциальной при большом показателе экспоненты. Гауссоида может быть легко воспроизведена с помощью экспоненциальной аппроксимации, поэтому в дальнейшем использована не будет. 9.2