Решение обратной задачи вихретокового контроля

Содержание Содержание 1. Техническое задание 2. Анализ технического задания 2.1 Прямая задача ВТК 2.2 Обратная задача ВТК 2.3 Модель задачи 2.4 Анализ литературы 4.1 Зарубежные методы решения 4.2 Отечественные методы решения 3. Прямая задача ВТК для НВТП 3.1 Уравнение Гельмгольца для векторного потенциала 10 3.2 Поле витка над многослойной средой 3.3 Воздействие проводящего ОК на НВТП 4. Обратная задача ВТК для НВТП 5. Некорректные задачи 5.1 Основные определения. Корректность по Адамару 5.2 Корректность по Тихонову 5.3 Вариационные методы решения некорректных задач 3.1 Метод регуляризации 3.2 Метод квазирешений 17 5.3.3 Метод невязки 6. Нелинейное программирование 6.1 Метод штрафных функций 6.2 Релаксационные методы 2.1 Метод условного градиента 2.2 Метод проекции градиента 2.3 Метод случайного спуска 6.3 Метод множителей Лагранжа 7. Линейное программирование 7.1 Алгоритм симплексного метода 23 8. Одномерная минимизация 8.1 Алгоритм методов 9. Результаты численного моделирования 9.1 Аппроксимации при численном моделировании 9.2 Модели реальных распределений электропроводности 9.3 Принципиальная возможность восстановления 9.4 Восстановление по зашумленным данным 9.5 Восстановление с учетом дополнительной информации 30 9.6 Восстановление при различном возбуждении 10. Заключение 11. Литература 33 Приложение 1 - Программная реализация 35 Приложение 2 - Удельная электропроводность материалов 52 Приложение 3 - Результаты восстановления 53 Приложение 4 - Abstact 1. Техническое задание Разработать алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля ВТК . Объектом контроля ОК являются проводящие немагнитные листы.

Объекты контроля подвергаются термообработке закалка, отпуск или насыщению внешних слоев различными веществами, что приводит к изменению механических, а вследствие этого и электромагнитных свойств материала листа по глубине.

Задача заключается в определении, в рамках допустимой погрешности, зависимости электропроводности ЭП от глубины Н в ОК для данного состояния.

Метод контроля заключается в измерении определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС на различных частотах с помощью накладного вихретокового преобразователя НВТП . Необходимо выбрать математическую модель задачи, способ аппроксимации искомого решения, рассмотреть алгоритм решения.

Используя программную реализацию, исследовать поведение погрешности аппроксимации зависимости Н от следующих факторов 1. От величины приборной погрешности измерения ЭДС 2. От вида зависимости электропроводности от глубины Н 3. От параметров аппроксимации решения 4. От диапазона частот возбуждения ВТП 2.

Анализ технического задания

Основная задача вихретокового контроля с помощью накладных преобразова... Очень мощный и универсальный метод, широко распространен для решения о... Позволяет восстанавливать произвольное распределение ЭП по глубине воо... 2.3 Модель задачи Приведем основные положения, на основе которых будет... Для численного моделирования реальных распределений ЭП применим пять т...

Зарубежные методы решения

Следует отметить монографию 38 , в которой рассмотрены случаи импульсн... Он основан на интегральной постановке задачи с помощью функций Грина 3... А. Можно показать, что в случае метода наискорейшего спуска итерация имее... Требуемый в 2.4.6 градиент импеданса можно определить как Z r -0E r E ...

Отечественные методы решения

Требуется по N измерениям величины э.д.с. 2.4.14 Вводя функцию Грина G p, p0 получим 2.4.15 При этом вносимая на... Образуем вариацию функционала Ф х, используя определение сопряженного ... Для нахождения минимума Ф х приравняем его вариацию Ф нулю. Вводя вспомогательную функцию u x-x0 и учитывая F0 Px0 проведем ряд пр...

Прямая задача ВТК для НВТП

Прямая задача ВТК для НВТП. Уравнение Гельмгольца для векторного потенциала Взаимодействие преобра... jпер 0 среда изотропна и ее параметры не зависят от напряженностей пол... В проводящем теле будем рассматривать только волновые процессы, обусло... В этом случае выражение 3.8 принимает вид.

Поле витка над многослойной средой

3.3 . Пусть - ток, протекающий по нитевидной возбуждающей обмотке с радиусом... Введем цилиндрическую систему координат r z. Поле витка над многослойной средой.

Воздействие проводящего ОК на НВТП

Для большинства инженерных расчетов можно использовать нитевидную моде... При данном упрощении получаем - напряженность электрического поля 3.15... В практике ВТК обычно анализируются вносимые параметры НВТП напряжение... Для НВТП нормировку производят по модулю максимального вносимого напря... 4.

Обратная задача ВТК для НВТП

В постановке для локального в смысле Чебышева критерия получим коррект... В системе линейных алгебраических уравнений 4.13 параметр минимизации ... Некорректные задачи 5.1 Основные понятия. Корректность по Адамару В са... Заметим, что метрики в соответствующих пространствах будут иметь вид x... f f0 f, причем обычно f0 принадлежит пространству гладких функций, а п...

Корректность по Тихонову

Задача 5.1 называется корректной по Тихонову на множестве корректности... Корректность по Тихонову. 2. 5.3.1 . Исследуемая среда устроена не слишком сложно, т.е.

Метод регуляризации

Идея метода состоит в том, чтобы минимизировать обладающий сглаживающи... Оборотной стороной достоинств метода являются его недостатки. Требован... Метод основан на стабилизации невязки Ax, f при помощи вспомогательног... 5.3.2 . Еще один принципиальный недостаток метода состоит в постановке функцио...

Метод квазирешений

Исходя из вышеизложенного получаем постановку метода в виде задачи усл... В терминах нашей задачи ВТК постановка задачи 5.4 примет вид 5.5 Для т... 5.3.3 . Метод использует одну из форм критерия невязки и заключается в сведени... Понятие квазирешения обобщает понятие решения, а для его существования...

Метод невязки

Рассмотрим множество Р формальных решений уравнения 5.1 Р x F Ax, f , ... Рассмотрим наиболее распространенные методы решения на примере основно... В качестве приближенного решения 5.1 нельзя брать произвольный элемент... не гарантируется близость Р к множеству точных решений. Для выбора при... Нелинейное программирование Содержание нелинейного программирования со...

Метод штрафных функций

Приведем часто используемые выражения для штрафа, k 0 6.3 6.4 6.5 Наиб... Метод штрафных функций. Выражение 6.5 гарантирует конечность метода при любом k 0. 6.2 . При численной реализации метода штрафных функций возникают проблемы вы...

Релаксационные методы

Релаксационные методы. Релаксационным методом называют процесс построения последовательности ... Основными представителями этого класса являются методы спуска, алгорит... Выбор начального приближения х0 2. Выбор в точке хk направления спуска -sk 3.

Метод условного градиента

Метод условного градиента. Идея метода заключается в линеаризации нелинейной функции х. В этом методе выбор направления спуска осуществляется следующим образо... Минимизируя линейную функцию Ф х на множестве Х находим хmin 3. Направление спуска получаем как -sk хmin - хk Таким образом итерация м...

Метод проекции градиента

Метод проекции градиента. Этот метод является аналогом метода градиентного спуска, используемого... 6.2.3 . Находим точку rk хk - хk 2. Выбор направления спуска осуществляется следующим образом 1.

Метод случайного спуска

Метод случайного спуска Метод характеризуется тем, что в качестве направления спуска sK выбирается некоторая реализация n-мерной случайной величины S с известным законом распределения. Об эффективности этого метода судить трудно, однако благодаря использованию быстродействующих ЭВМ он оказывается практически полезным. 6.3

Метод множителей Лагранжа

Нахождение частных производных функции Лагранжа 6.7 3. Решение системы из n m уравнений вида 6.8 Решениями системы 6.8 являют... ajxj b где j 1,N. Заметим, что для базовых столбцов k 0. Проверка на оптимальность осуществляется следующим образом k 0 , k 1,N...

Одномерная минимизация

Исходными данными для них являются отрезок a0,b0 содержащий точку мини... Одномерная минимизация. Поскольку нас интересует приближенное определение точки минимума, то д... 8.1 . Несмотря на кажущуюся простоту, для широкого класса функций решение за...

Алгоритм методов

h0 b0 - a0 , k 1 , 0.5,1 , h1 h0 , h2 h0 - h1 , c1 a0 h2 , d2 b0 - h2 ... Вычислить текущие значения ck и dk и действовать в соответствии с ними... 8.2 Метод Фибоначчи Решая вопрос, при каких значениях параметра за кон... 8.3 Метод золотого сечения В реальной ситуации начиная поиск минимума ... При 5 1 2 1.618034 получаем метод золотого сечения. Сравнивая приведен...

Аппроксимации при численном моделировании

Аппроксимации при численном моделировании. Для построения моделей реальных распределений ЭП возможно применение ц... Аппроксимации, строящиеся по набору из произвольного числа узлов. Наиб... 2. На графике показаны аппроксимации кусочно постоянная SIci, кусочно лин...

Модели реальных распределений электропроводности

Модель задачи должна описывать некоторую пластину, подвергнутую поверх... В них ЭП претерпевает существенные изменения на протяжении всей глубин... Для исследования зависимости результатов восстановления распределений ... Низкие частоты f , Гц 1, 5, 10, 20, 35, 50, 100, 150, 200, 500, 750, 1... Погрешность восстановления увеличивается с уменьшением глубины, занима...

Восстановление по зашумленным данным

Рассмотренные в данном разделе результаты демонстрируют возможность во... 9.5 . Погрешность восстановления увеличивается с уменьшением глубины, занима... На графиках рассматриваемые зависимости показаны цветами результат вос... Графики представлены в первых четырех пунктах Приложения 3.

Восстановление с учетом дополнительной информации

С целью улучшения результатов восстановления в реальной обстановке, ос... На графиках рассматриваемые зависимости показаны цветами базовые огран... Восстановление с учетом дополнительной информации. 9.6 . Погрешность восстановления уменьшается при использовании дополнительны...

Восстановление при различном возбуждении

Для улучшения результатов восстановления следует использовать 10 часто... Для улучшения результатов восстановления следует использовать 10 часто... . Имеют место осцилляции, приводящие к погрешностям, превышающим 10 . Восстановление поверхностных распределений с помощью аппроксимаций экс...

Заключение

Заключение По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы Существует принципиальная возможность восстановления как поверхностных так и глубинных распределений ЭП с погрешностью, не превышающей 2-3 . Для восстановления поверхностных распределений следует использовать экспоненциальную и гиперболическую аппроксимации, а для глубинных сплайн и кусочно-постоянную возможно использование экспоненциальной и гиперболической аппрксимаций для в приповерхностном слое глубиной порядка четверти пластины. Существенное отрицательное влияние на результаты восстановления имеют погрешность измерения Uвн не следует использовать данные с погрешностью измерения более 2 и малая глубина распределения ЭП распределения ЭП сосредоточенные в приповерхностном слое глубиной менее 3-5 восстанавливаются хуже. Использование жестких ограничений на величину ЭП в приповерхностных слоях оправдано при восстановлении поверхностных распределений, причем при наличии данных с погрешностью, превосходящей 2 , или малой глубины распределения предпочтительнее задавать ограничения на обеих поверхностях.

При зашумленности данных порядка 1-2 достаточно задать жесткие ограничения лишь на верхней поверхности.

В наборе частот возбуждения ВТП должны присутствовать низкочастотные составляющие, влияние которых особенно заметно при работе с глубинными распределениями и соответствующими аппроксимациями.

Рекомендуется использовать порядка десяти частот, равномерно распределенных по частотному диапазону 0.00170 КГц. В условиях высокой погрешности измерений или отчетливо выраженных приповерхностных изменениях ЭП заметное положительное влияние оказывает увеличение числа частот возбуждения ВТП например, до пятнадцати В процессе работы над задачей был проведен анализ литературы, выбрана модель задачи и способы ее аппроксимации.

При помощи программы, разработанной согласно предложенной модели, были проведены расчеты модельных задач и рассмотрены результаты восстановления распределений ЭП в зависимости от основных влияющих факторов. Таким образом, цели, поставленные в техническом задании, решены в полном объеме. 11.

Литература

Литература 1. Неразрушающий контроль качества изделий электромагнитными методами, Герасимов ВГ, 1978,215 2. Вихретоковый контроль накладными преобразователями Герасимов ВГ,1985,86 3. Вихретоковые методы и приборы неразрушающего контроля Рудаков ВН, 1992, 72 4. Накладные и экранные датчики Соболев ВС, 1967, 144 5. Теория и расчет накладных вихретоковых преобразователей Дякин ВВ, 1981, 135 6. Основы анализа физических полей Покровский АД, 1982, 89 7. Дефектоскопия металлов Денель АК, 1972, 303 8. Индукционная структуроскопия Дорофеев АЛ,1973,177 9. Структура и свойства металлов и сплавов.

Справочник Шматко ОА,1987,580 10. Некорректные задачи Численные методы и приложения Гончарский АВ,1989,198 11. Некорректные задачи матфизики и анализа Лаврентьев ММ,1980,286 12. Линейные операторы и некорректные задачи Лаврентьев ММ,1991,331 13. Методы решения некорректно поставленных задач Алгоритмич. аспект Морозов ВА, 1992,320 14. Численные методы решения некорректных задач Тихонов АН,1990,230 15. Начала теории вычислительных методов, Крылов ВИ,1984,260 16. Математическое программирование в примерах и задачах Акулич ИЛ,1993,319 17. Математическое программирование Карманов ВГ,1986,286 18. Математическое программирование Орехова РА,1992,290 19. Нелинейное программирование Теория и алгоритмы Базара М,1982,583 20. Прикладное нелинейное программирование Химмельблау Д,1975,534 21. Введение в методы оптимизации Аоки М,1977,344 22. Введение в оптимизацию Поляк БТ,1983,384 23. Курс методов оптимизации Сухарев АГ,1986,326 24. Практическая оптимизация Гилл Ф,1985,509 25. Численные методы оптимизации Полак Э,1974,367 26. Алгоритмы решения экстремальных задач Романовский ИВ,1977,352 27. Методы решения экстремальных задач Васильев ФП,1981,400 28. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации Евтушенко ЮГ, 1982,432 29. Численные методы решения экстремальных задач Васильев ФП,1988,549 30. Введение в вычислительную физику Федоренко РП,1994,526 31. Методы математической физики Арсенин ВЯ,1984,283 32. Уравнения математической физики Тихонов АН,1977 33. Уравнения математической физики Владимиров ВС,1988,512 34. Метод интегральных уравнений в теории рассеивания Колтон Д,1987,311 35. Теория электромагнитного поля Поливанов КМ,1975,207 36. Eddy current testing.

Manual on eddy current method Cecco VS,1981,195 37. Optimization methods with applications for PC Mistree F,1987,168 38. Electromagnetic inverse profiling Tijhuis AG,1987,465 39. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory Colton D,1992,305 40. Накладной электромагнитный преобразователь над объектом контроля с изменяющимися по глубине электрическими и магнитными свойствами, Касимов ГА, Кулаев ЮВ, Дефектоскопия, 1978, 6, с81-84 41. Возможности применения методов теории синтеза излучающих систем в задачах электромагнитного контроля , Кулаев ЮВ, 1980, тематический сборник Труды МЭИ, выпуск 453, с12-18 42. Analitical solutions to eddy-current probe-coil problems , Deeds WE, Dodd CV, Journal of Applied Phisics, 1968, vol39, 3, p2829-2838 43. General analysis of probe coils near stratified conductors , Deeds WE, Dodd CV,International Journal of Nondestructive Testing, 1971, vol3, 2, p109-130 44. Tutorial.

A review of least-squares inversion and its application to geophysical problems , Lines LR, Treitel S, Geophysical Prospecting , 1984, vol32, 2, p159-186 45. Eddy current calculations using half-space Greens functions , Bowler JR, Journal of Applied Phisics, 1987, vol61, 3, p833-839 46. Reconstruction of 3D conductivity variations from eddy current electromagnetic induction data , Nair SM, Rose JH, Inverse Problems, 1990, 6, p1007-1030 47. Electromagnetic induction eddy-currents in a conducting half-space in the absence and presence of inhomogeneities a new formalism , Nair SM, Rose JH, Journal of Applied Phisics, 1990, vol68, 12, p5995-6009 48. Eddy-current probe impedance due to a volumetric flaw , Bowler JR, Journal of Applied Phisics, 1991, vol70, 3, p1107-1114 49. Theory of eddy current inversion , Bowler JR, Norton SJ, Journal of Applied Phisics, 1993, vol73, 2, p501-512 50. Impedance of coils over layered metals with continuously variable conductivity and permeability Theory and experiment , Rose JH, Journal of Applied Phisics, 1993, vol74, 3, p2076 51. Eddy-current interaction with ideal crack , Bowler JR, Journal of Applied Phisics, 1994, vol75, 12, p8128,8138 52. Method of solution of forward problems in eddy-current testing , Kolyshkin AA, Journal of Applied Phisics, 1995, vol77, 10, p4903-4912 Приложение 1. Программная реализация Программная реализация изложенного метода решения обратной задачи ВТК осуществлена при помощи компилятора Borland Pascal 7.0 и состоит из шести модулей 1. ErIn12.pas - исполняемый файл, осуществляет основной цикл программы 2. EData.pas - содержит глобальные данные и осуществляет чтение файла исходных данных 3. EFile.pas - содержит вспомогательные функции и иосуществляет сохранение результатов расчетов 4. EMath.pas - осуществляет поддержку операций с комплексными числами 5. EDirect.pas - осуществляет решение прямой задачи ВТК 6. EMinimum.pas - осуществляет решение обратной задачи ВТК П1.1 Исходные данные Исходные данные программы хранятся в текстовом файле кодировка ASCII, расширение по умолчанию TXT . HThick - толщина пластины, мм nPoints - количество узлов аппроксимации электропроводности для PWL,PWC,SPL аппроксимаций.

В случае EXP,HTG аппроксимации вычисление значений ЭП в них производится по окончании расчетов nLayers - количество интервалов с кусочно-постоянной электропроводностью, на которые разбивается пластина для непосредственного расчета вносимой ЭДС по реккурентным формулам для многослойной пластины nFreqs - количество частот возбуждения гармоник вносимой относительной ЭДС nStab - число стабилизируемых значащих цифр epsU - погрешность измерения aG - коэффициент сжатия ограничений aG 1 НЕ используется при EXP,HTG аппроксимации nApprox - типы аппроксимации прямой и обратной задач si - значения проводимости в узлах аппроксимации siMin, siMax - ограничения на возможные значения проводимости в узлах аппроксимации в процессе решения ОЗ incVal - величина dx для численного дифференцирования maxSteps - максимальное число отрезков интегрирования maxX - верхний предел интегрирования при расчете Uvn Eps - погрешность интегрирования при расчете Uvn dType - тип разностной производной 1 правая или 2 центральная eqlB - толщины слоев пластины одинаковы b hThick nLayers если eqlB 0, в противном случае используются координаты слоев из файла П1.2 Используемые аппроксимации Примечание.

Координата Х 0,1 отсчитывается от дна пластины для всех аппроксимаций.

Сплайн SPL , кусочно-линейная PWL , кусочно-постоянная PWC аппроксимации.

В процессе расчетов ищутся значения электропроводности в узлах аппроксимации, причем количество узлов увеличивается от едениицы до nPoints в целях сохранения устойчивости решения. Начальные значения узловые значения истинной ЭП для эмуляции измерений U вн задаются в столбце si файла исходных данных, начальные значения ограничений на узловые значения ЭП в столбцах siMin и siMax движение по столбцу сверху вниз соответствует изменению координаты от дна пластины до обрабатываемой повехности. Экспоненциальная аппроксимация EXP В случае задания экспоненциальной аппроксимации зависимость электропрводности от толщины представляется в виде SIGMA siE-siI EXP -alfa 1-x siI Варьруемыми параметрами являются эектропроводность на верхней поверхности siЕ, электропроводность на бесконечности siI и параметр alfa. В файле исходных данных в таблице из nPoints строк с подзаголовком si siMin siMax, информация об ограничениях на параметры siE, siI задается в первой и nPoints-строке.

Величина и ограничения для параметра alfa задаются первой строкой в special approximation parameters. Аппроксимация гиперболическим тангенсом HTG В случае задания аппроксимации гиперболическим тангенсом зависимость электропрводности от толщины представляется в виде SIGMA si2 si1-si2 2 1 th beta-x gamma Величина и ограничения для параметров si2,beta, gamma задаются начиная со второй строки в special approximation parameters, для si1 аналогично siI. П1.3 Результаты расчета Результаты расчета помещаются в текстовый файл кодировка ASCII, расширение по умолчанию LST , при этом результат каждой итерации отбражается строкой вида 1 Ф 0.000353 Rg 17.003 15.639 9.697 где первая цифра в данном случае 1 соответствует номеру текущей внутренней итерации, затем после текста Ф идет значение текущей абсолютной среднеквадратичной невязки по всем гармоникам в данном случае 0.000353 , затем после текста Rg, идут искомые текущие значения переменных минимизации.

В случае SPL,PWL,PWC аппроксимаций это непосредственно узловые значения электропроводности для текущего количества узлов, а для EXP,HTG аппроксимаций это параметры siE, siI, Alfa или si1, si2, Beta, Gamma. B качестве последней строки помещаются nPoints вычисленных значений э проводности в равномерно расположенных узлах пластины.

П1.4 Основная программа ErIn ErIn v1.42 Eddy current inverse problem solver.

C 1999 by Nikita U.Dolgov Moscow Power Engineering Institute , Introscopy dept. Program ErIn 23.02.99 Uses DOS,CRT, EData, EMath, EDirect, EFile, EMinimum Var m, mLast, i byte loop counters procedure about Let me to introduce myself begin clrscr GetTime clk1.H, clk1.M, clk1.S, clk1.S100 get start time writeln writeln ErIn v1.42 Basic writeln end procedure initParameters var apDT byte approximation type for direct task begin apDT nApprox SHR 4 XXXXYYYY- 0000XXXX fHypTg apDT AND apHypTg apHypTg if fHypTg then begin si0 1 si 1 si1 - conductivity about bottom of slab si0 2 par0 2 si2 - conductivity about top of slab si0 3 par0 3 Beta - ratio of approx. si0 4 par0 4 Gamma- ratio of approx. mCur 4 end else if apDT AND apExp 0 then It s not an EXP approx. begin for i 1 to nPoints do si0 i si i SI data from file mCur nPoints end else begin si0 1 si 1 siI - conductivity about bottom of slab si0 2 si nPoints siE - conductivity about top of slab si0 3 par0 1 Alfa- ratio of approx. mCur 3 end setApproximationType apDT approx. type for direct problem setApproximationData si0, mCur approx. data for direct problem nApprox nApprox AND 0F XXXXYYYY- 0000YYYY fHypTg nApprox AND apHypTg apHypTg fMulti nApprox AND apExp 0 AND NOT fHypTg It s not an EXP approx. if fMulti then begin for i 1 to nPoints do begin Gr 1,i SiMax i Gr 2,i SiMin i Rg i Gr 1,i Gr 2,i 2 zero estimate of SI Rgs i 1E33 biggest integer end mLast nPoints loop for every node of approx. mCur 1 to begin from the only node of approx end else if fHypTg then begin Gr 1,1 siMax 1 Gr 2,1 siMin 1 Rgs 1 1E33 Gr 1,2 parMax 2 Gr 2,2 parMin 2 Rgs 2 1E33 Gr 1,3 parMax 3 Gr 2,3 parMin 3 Rgs 3 1E33 Gr 1,4 parMax 4 Gr 2,4 parMin 4 Rgs 4 1E33 for i 1 to 4 do Rg i Gr 1,i Gr 2,i 2 mLast 1 mCur 4 end else begin Gr 1,1 siMax 1 Gr 2,1 siMin 1 Rgs 1 1E33 Gr 1,2 siMax nPoints Gr 2,2 siMin nPoints Rgs 2 1E33 Gr 1,3 parMax 1 Gr 2,3 parMin 1 Rgs 3 1E33 for i 1 to 3 do Rg i Gr 1,i Gr 2,i 2 mLast 1 mCur 3 end initConst nLayers, parMaxH, parMaxX , parEps, parEqlB set probe params end procedure directTask emulate voltage measurements with error begin for i 1 to nFreqs do begin getVoltage freqs i , Umr i , Umi i measured Uvn if epsU 0 then add measurement error begin randomize Umr i Umr i 1 epsU random-0.5 randomize Umi i Umi i 1 epsU random-0.5 end end writeln Voltage measurements have been emulated setApproximationType nApprox approx. type for inverse problem setApproximationData Rg, mCur approx. data for inverse problem end procedure reduceSILimits evaluate SI for m 1 points of approx. using aG var x0, x1, xL, dx, Gr1, Gr2 real j, k byte begin get SI min max for m 1 points of approximation dx 1 nPoints-1 for i 1 to m 1 do begin k 1 x1 0 x0 i-1 m for j 1 to nPoints-1 do begin xL j-1 nPoints-1 if xL x0 AND x0 xL dx then begin k j x1 xL end end Gr 1,i siMax k siMax k 1 -siMax k x0-x1 dx Gr 2,i siMin k siMin k 1 -siMin k x0-x1 dx end get SI for m 1 points of approximation for i 1 to m 1 do begin Rg i getSiFunction i-1 m if Rg i Gr 1,i then Rg i Gr 1,i if Rg i Gr 2,i then Rg i Gr 2,i if m 1 then There re more than 1 point of approx. begin Gr1 Rg i Gr 1,i -Rg i aG reduce upper bound Gr2 Rg i - Rg i -Gr 2,i aG reduce lower bound if Gr1 Gr 1,i then Gr 1,i Gr1 test overflow if Gr2 Gr 2,i then Gr 2,i Gr2 end end setApproximationData Rg, m 1 end procedure resultMessage to announce new results begin if fMulti then begin writeln current nodal values of conductivity write si for i 1 to m do write Rg i 6 3, writeln write max for i 1 to m do write Gr 1,i 6 3, writeln write min for i 1 to m do write Gr 2,i 6 3, writeln end else begin for i 1 to nPoints do si i getSiFunction i-1 nPoints-1 if fHypTg then saveHypTgResults else saveExpResults end end procedure clockMessage user-friendly message begin writeln write approximation points number, m 3, Time clock writeln end procedure done final message begin Sound 222 Delay 111 Sound 444 Delay 111 NoSound beep write Task processing time clock saveTime writeln Status Inverse problem has been successfully evaluated. end Begin about loadData initParameters directTask for m 1 to mLast do begin if fMulti then begin mCur m clockMessage end doMinimization main part of work setApproximationData Rg, mCur set new approx. data resultMessage if fMulti AND m nPoints then reduceSILimits end done End. П1.5 Модуль глобальных данных EData Unit EData Interface Uses DOS Const maxPAR 40 nodes of approximation max number maxFUN 20 excitation frequencies max number maxSPC 4 support approximation values number iterImax 50 max number of internal iterations Const apSpline 1 approximation type identifiers apHypTg 3 apExp 2 apPWCon 4 apPWLin 8 Type Parameters array 1 maxPAR of real Si,Mu data Functionals array 1 maxFUN of real Voltage data SpecialPar array 1 maxSPC of real Special data Var hThick real thickness of slab nPoints integer nodes of approximation number within 0,H nLayers integer number of piecewise constant SI layers within 0,H nFreqs integer number of excitation frequencies nStab integer required number of true digits in SI estimation epsU real relative error of measurement Uvn nApprox byte approximation type identifier incVal real step for numerical differ. parMaxH integer max number of integration steps parMaxX real upper bound of integration parEps real error of integration derivType byte 1 for right 2 for central Var freqs Functionals frequencies of excitment Uvn Umr, Umi Functionals Re Uvn ,Im Uvn for measured data Uer, Uei Functionals Re Uvn ,Im Uvn for estimated data mu Parameters relative permeability nodal values si, si0 Parameters conductivity approximation nodal values siMin, siMax Parameters conductivity nodal values restrictions par0 SpecialPar alfa, si2,beta, gamma - for exp HypTg parMin, parMax SpecialPar min max zLayer Parameters relative borders of slab layers 0,1 Var aG real scale factor for SImin max Ft real current discrepancy functional value fMulti boolean TRUE if it isn t an EXP-approximation fHypTg boolean TRUE for Hyperbolic tg approximation parEqlB boolean TRUE if b i const mCur integer current number of approximation nodes inFileName string data file name outFileName string results file name Var Rg Parameters current SI estimation RgS Parameters previous SI estimation Gr array 1 2 ,1 maxPAR of real SI max min Fh array 1 maxPAR , 1 maxFUN of real current discrepancies Type TTime record H, M, S, S100 word hour, min, sec, sec 100 end Var clk1, clk2 TTime start finish time procedure loadData load all user-defined data from file Implementation procedure loadData var i, eqlB integer FF text begin assign FF, outFileName clear output file rewrite FF close FF assign FF, inFileName read input file reset FF readln FF readln FF readln FF, hThick, nPoints, nLayers, nFreqs, nStab, epsU, aG, nApprox readln FF for i 1 to nFreqs do read FF, freqs i readln FF readln FF readln FF for i 1 to nPoints do readln FF, si i, siMin i, siMax i readln FF readln FF readln FF , incVal, parMaxH, parMaxX, parEps, derivType, eqlB readln FF readln FF for i 1 to maxSPC do readln FF, par0 i, parMin i, parMax i readln FF if eqlB 0 then begin for i 1 to nLayers 1 do read FF, zLayer i parEqlB false end else parEqlB true close FF for i 1 to maxPAR do mu i 1 end Var str string Begin if ParamCount 1 then str ParamStr 1 else begin write Enter I O file name, please readln str end inFileName str .txt outFileName str .lst End. П1.6 Модуль работы с файлами EFile Unit EFile Interface Uses DOS, EData function isStable ns integer var RG1,RG2 boolean function saveResults ns, iter integer boolean procedure saveExpResults procedure saveHypTgResults procedure clock procedure saveTime Implementation Var FF text i byte function decimalDegree n integer real 10 n var s real i byte begin s 1 for i 1 to n do s s 10 decimalDegree s end function isStable ns integer var RG1,RG2 boolean var m real R1 Parameters absolute RG1 R2 Parameters absolute RG2 begin isStable TRUE m decimalDegree ns-1 for i 1 to mCur do begin if NOT ABS R2 i -R1 i m ABS R2 i then isStable FALSE RgS i Rg i end end function saveResults ns, iter integer boolean var sum real begin sum 0 for i 1 to nFreqs do sum sum Fh 1,i sum SQRT sum nFreqs assign FF , outFileName append FF write iter 2 sum 10 7, Rg write FF , iter 2 sum 10 7, Rg for i 1 to mCur do begin write Rg i 6 3, write FF , Rg i 6 3, end writeln writeln FF close FF saveResults isStable ns , Rgs , Rg end procedure saveExpResults begin assign FF , outFileName append FF writeln siE ,Rg 2 6 3, siI ,Rg 1 6 3, alfa ,Rg 3 6 3 writeln FF , siE ,Rg 2 6 3, siI , Rg 1 6 3, alfa ,Rg 3 6 3 write SI write FF , SI for i 1 to nPoints do begin write si i 6 3, write FF , si i 6 3, end writeln writeln FF close FF end procedure saveHypTgResults begin assign FF , outFileName append FF writeln si1 ,Rg 2 6 3, si2 ,Rg 1 6 3, beta ,Rg 3 6 3, gamma ,Rg 4 6 3 writeln FF , si1 ,Rg 2 6 3, si2 ,Rg 1 6 3, beta ,Rg 3 6 3, gamma ,Rg 4 6 3 write SI write FF , SI for i 1 to nPoints do begin write si i 6 3, write FF , si i 6 3, end writeln writeln FF close FF end procedure clock t2 t2-t1 var H1,M1,S1,H2,M2,S2,sec1,sec2 longint begin GetTime clk2.H, clk2.M, clk2.S, clk2.S100 current time H2 clk2.H M2 clk2.M S2 clk2.S H1 clk1.H M1 clk1.M S1 clk1.S sec2 H2 60 M2 60 S2 sec1 H1 60 M1 60 S1 if sec2 sec1 then sec2 sec2 85020 23.59.59 sec2 sec2 - sec1 clk2.H sec2 div 3600 sec2 sec2 - clk2.H 3600 clk2.M sec2 div 60 sec2 sec2 - clk2.M 60 clk2.S sec2 writeln clk2.H 2 clk2.M 2 clk2.S 2 end procedure saveTime begin assign FF , outFileName append FF write FF , Processing time, clk2.H 2 clk2.M 2 clk2.S 2 close FF end End. П1.7 Модуль решения прямой задачи ВТК для НВТП EDirect ERIN submodule EDirect , 15.02.99, C 1999 by Nikita U.Dolgov Estimates Uvn for Eddy current testing of inhomogeneous multilayer slab with surface flat probe.

It can do it using one of five types of conductivity approximation Spline, Exponential, Piecewise constant, Piecewise linear,Hyperbolic tangent F Unit EDirect Interface Uses EData, EMath Type siFunc function x real real Var getSiFunction siFunc for external getting SI estimate procedure initConst par1,par2 integer par3,par4 real par5 boolean procedure getVoltage freq real var ur, ui real Uvn ur j ui procedure setApproximationType approx byte type of approx. procedure setApproximationItem SIG real N byte set SIGMA N procedure setApproximationData var SIG nVal byte SIGMA 1 nVal procedure getApproximationData var SIG var N byte get SIGMA N Implementation Const PI23 2000 pi 2 pi KHz mu0 4 pi 1E-7 magnetic const Var appSigma Parameters conductivity approximation data buffer appCount byte size of conductivity approximation data buffer appType byte conductivity approximation type identifier Type commonInfo record w real cyclical excitation frecuency R real equivalent radius of probe H real generalized lift-off of probe Kr real parameter of probe eps real error of integration xMax real upper bound of integration steps integer current number of integration steps maxsteps integer max number of integration steps Nlay integer number of layers in slab sigma Parameters conductivity of layers m Parameters relative permeability of layers b Parameters thickness of layers zCentre Parameters centre of layer end procFunc procedure x real var result complex Var siB, siC, siD Parameters support for Spline approx. cInfo commonInfo one-way access low level info function siSpline x real real Spline approximation begin if appCount 1 then siSpline appSigma 1 else siSpline Seval appCount, x, appSigma, siB, siC, siD end function siExp x real real Exponential approximation begin siExp appSigma 2 -appSigma 1 EXP -appSigma 3 1-x appSigma 1 end function siPWConst x real real Piecewise constant approximation var dx, dh real i byte begin if appCount 1 then siPWConst appSigma 1 else begin dh 1 appCount-1 dx dh 2 i 1 while x dx do begin i i 1 dx dx dh end siPWConst appSigma i end end function siPWLinear x real real Piecewise linear approximation var dx, dh real i byte begin if appCount 1 then siPWLinear appSigma 1 else begin dh 1 appCount-1 dx 0 i 1 repeat i i 1 dx dx dh until x dx siPWLinear appSigma i-1 appSigma i -appSigma i-1 x dh 2-i end end function siHyperTg x real real Hyperbolic tangent approximation begin siHyperTg appSigma 2 appSigma 1 -appSigma 2 1 th appSigma 3 - x appSigma 4 2 end procedure setApproximationType approx byte begin appType approx write conductivity approximation type case approx of apSpline begin writeln SPLINE getSiFunction siSpline end apExp begin writeln EXP getSiFunction siExp end apPWCon begin writeln PIECEWISE CONST getSiFunction siPWConst end apPWLin begin writeln PIECEWISE LINEAR getSiFunction siPWLinear end apHypTg begin writeln HYPERBOLIC TANGENT getSiFunction siHyperTg end end end procedure setApproximationData var SIG nVal byte var Sigma Parameters absolute SIG i byte begin appCount nVal for i 1 to nVal do appSigma i Sigma i if appType apSpline then Spline appCount, appSigma, siB, siC, siD end procedure getApproximationData var SIG var N byte var Sigma Parameters absolute SIG i byte begin N appCount for i 1 to appCount do Sigma i appSigma i end procedure setApproximationItem SIG real N byte begin appSigma N SIG if appType apSpline then Spline appCount, appSigma, siB, siC, siD end procedure functionFi x real var result complex get boundary conditions function value var beta array 1 maxPAR of real q array 1 maxPAR of complex fi array 0 maxPAR of complex th, z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 , z7 complex i byte begin mkComp 0, 0, fi 0 with cInfo do for i 1 to Nlay do begin beta i R sqrt w mu0 sigma i calculation of beta mkComp sqr x, sqr beta i m i, z7 calculation of q, z7 q 2 SqrtC z7, q i mulComp q i, b i, z6 calculation of th, z6 q b tanH z6, th th tanH q b mkComp sqr m i sqr x , 0, z6 z6 m2x2 SubC z6, z7, z5 z5 m2x2-q2 AddC z6, z7, z4 z4 m2x2 q2 MulC z5, th, z1 z1 z5 th MulC z4, th, z2 z2 z4 th mulComp q i , 2 x m i, z3 z3 2xmq SubC z2, z3, z4 MulC z4, fi i-1 , z5 SubC z1, z5, z6 z6 high AddC z2, z3, z4 MulC z1, fi i-1 , z5 SubC z4, z5, th th low DivC z6, th, fi i end eqlComp result, fi cInfo. Nlay end procedure funcSimple x real var result complex intergrand function value var z complex begin with cInfo do begin functionFi x, result mulComp result, exp -x H , z mulComp z, J1 x Kr, result mulComp result, J1 x Kr, z eqlComp result, z end end procedure funcMax x real var result complex max value When Fi Nlay 1 var z1, z2 complex begin with cInfo do begin mkComp 1,0,z1 mulComp z1, exp -x H , z2 mulComp z2, J1 x Kr, z1 mulComp z1, J1 x Kr, result end end procedure integralBS func procFunc var result complex integral by Simpson var z, y , tmp complex hh real i, iLast word begin with cInfo do begin hh xMax steps iLast steps div 2 nullComp tmp func 0, z eqlComp y, z for i 1 to iLast do begin func 2 i-1 hh, z deltaComp tmp, z end mulComp tmp, 4, z deltaComp y, z nullComp tmp iLast iLast-1 for i 1 to iLast do begin func 2 i hh, z deltaComp tmp, z end mulComp tmp, 2, z deltaComp y, z func xmax, z deltaComp y, z mulComp y, hh 3, z eqlComp result, z end end I h 3 F0 4 sum F2k-1 2 sum F2k Fn procedure integral F procFunc var result complex integral with given error var e, e15 real flag boolean delta, integ1H , integ2H complex begin with cInfo do begin e15 eps 15 I2h-I1h 2 k -1 Eps k 4 for Simpson method steps 20 flag false integralBS F, integ2H repeat eqlComp integ1H, integ2H steps steps 2 integralBS F, integ2H SubC integ2H, integ1H, delta e Leng delta if e e15 then flag true until flag OR steps maxsteps if flag then begin eqlComp result, integ2H end else begin writeln Error Too big number of integration steps. halt 1 end end end procedure initConst par1, par2 integer par3, par4 real par5 boolean var i byte bThick, dl, x real const Ri 0.02 hi 0.005 radius and lift-off of excitation coil Rm 0.02 hm 0.005 radius and lift-off of measuring coil begin with cInfo do begin Nlay par1 xMax par3 maxsteps par2 R sqrt Ri Rm H hi hm R Kr sqrt Ri Rm eps par4 bThick hThick 0.002 R 2 b R m for i 1 to Nlay do m i mu i if par5 then begin bThick bThick NLay for i 1 to Nlay do b i bThick dl 1 NLay x dl 2 x grows up from bottom of slab to the top for i 1 to Nlay do begin zCentre i x x x dl end end else for i 1 to Nlay do begin b i zLayer i 1 -zLayer i bThick zCentre i zLayer i 1 zLayer i 2 end end end procedure init f real get current approach of conductivity values var i byte begin with cInfo do begin w PI23 f for i 1 to Nlay do sigma i getSiFunction zCentre i 1E6 end end procedure getVoltage freq real var ur, ui real var U, U0, Uvn, tmp complex begin init freq integral funcSimple, U U Uvn integral funcMax , U0 U0 Uvn max divComp U, Leng U0 , Uvn Uvn U U0 mkComp 0, 1, tmp tmp 0 j1 MulC tmp, Uvn, U U j Uvn Uvn ur U.re ui U.im end END. П1.8 Модуль решения обратной задачи ВТК для НВТП EMinimum Unit EMinimum INTERFACE Uses EData, Crt, EFile, EDirect procedure doMinimization IMPLEMENTATION procedure getFunctional Reg byte var ur, ui, dur, dui, Rgt real ur2, ui2 Functionals i, j, k byte begin getApproximationData si, k setApproximationData Rg, mCur case Reg of 0 for i 1 to nFreqs do get functional F value begin getVoltage freqs i, ur, ui Uer i ur we need it for dU Uei i ui Fh 1,i SQR ur-Umr i SQR ui-Umi i end Right U i U i 1 -U i h 1 for i 1 to mCur do get dF dSI i value begin Rgt Rg i 1 incVal si i si i dsi i setApproximationItem Rgt, i set new si i value for j 1 to nFreqs do begin get dUr dSI,dUi dSI getVoltage freqs j, ur, ui dur ur-Uer j Rg i incVal dui ui-Uei j Rg i incVal Fh i, j 2 dur Uer j -Umr j dui Uei j -Umi j end setApproximationItem Rg i, i restore si i value end Central U i U i 1 - U i-1 2h 2 for i 1 to mCur do get dF dSI i value begin Rgt Rg i 1 incVal si i si i dsi i setApproximationItem Rgt, i set new si i value for j 1 to nFreqs do getVoltage freqs j, ur2 j, ui2 j Rgt Rg i 1-incVal si i si i -dsi i setApproximationItem Rgt, i set new si i value for j 1 to nFreqs do begin get dUr dSI,dUi dSI getVoltage freqs j, ur, ui dur ur2 j -ur 2 Rg i incVal dui ui2 j -ui 2 Rg i incVal Fh i, j 2 dur Uer j -Umr j dui Uei j -Umi j end setApproximationItem Rg i, i restore si i value end end setApproximationData si, k end procedure doMinimization const mp1Max maxPAR 1 mp2Max maxPAR 2 m2Max 2 maxPAR maxFUN m21Max m2Max 1 n2Max 2 maxFUN m1Max maxPAR n2Max n1Max n2Max 1 mm1Max maxPAR n1Max minDh real 0.001 criterion of an exit from golden section method var A array 1 m1Max , 1 m21Max of real B array 1 m1Max of real Sx array 1 m21Max of real Zt array 1 maxPAR of real Nb array 1 m1Max of integer N0 array 1 m21Max of integer a1, a2, dh, r, tt, tp, tl, cv, cv1, cl, cp real n2, n1, mp1, mp2, mm1, m1, m2, m21 integer ain real apn real iq integer k1 integer n11 integer ip integer iterI integer i, j,k integer label 102 ,103 ,104 ,105 ,106 ,107 ,108 begin n2 2 nFreqs n1 n2 1 m1 mCur n2 mp1 mCur 1 mp2 mCur 2 mm1 mCur n1 m2 2 mCur nFreqs m21 m2 1 for k 1 to m1Max do for i 1 to m21Max do A k, i 0 iterI 0 102 iterI iterI 1 getFunctional 0 for i 1 to nFreqs do b i -Fh 1,i getFunctional derivType for k 1 to mCur do begin Zt k Rg k for i 1 to nFreqs do begin A i, k 1 Fh k, i A i nFreqs, k 1 -A i, k 1 end for i 1 to nFreqs do B i B i Rg k A i, k 1 end for i 1 to nFreqs do B i nFreqs -B i for i n1 to m1 do B i Gr 1,i-n2 -Gr 2,i-n2 for i 1 to m1 do begin if i n2 then for k 2 to mp1 do B i B i -A i, k Gr 2,k-1 A i,1 -1 if i n2 then begin A i,1 0 for k 2 to mp1 do if i-n2 k-1 then A i, k 1 else A i, k 0 end for k mp2 to m21 do if k-mp1 i then A i, k 1 else A i, k 0 end k1 1 for k 1 to n2 do if B k1 B k then k1 k for k 1 to mp1 do A k1,k -A k1,k A k1,mCur 1 k1 0 B k1 -B k1 for i 1 to n2 do if i k1 then begin B i B i B k1 for k 1 to mm1 do A i, k A i, k A k1,k end for i mp2 to m21 do begin Sx i B i-mp1 Nb i-mp1 i end for i 1 to mp1 do Sx i 0 Sx 1 B k1 Sx mp1 k1 0 Nb k1 1 103 for i 2 to m21 do N0 i 0 104 for i m21 downto 2 do if N0 i 0 then n11 i for k 2 to m21 do if A k1,n11 A k1,k AND k N0 k then n11 k if A k1,n11 0 then goto 105 iq 0 for i 1 to m1 do if i k1 then begin if A i, n11 0 then begin iq iq 1 if iq 1 then begin Sx n11 B i A i, n11 ip i end else begin if Sx n11 B i A i, n11 then begin Sx n11 B i A i, n11 ip i end end end else if iq 0 then begin N0 n11 n11 goto 104 end end Sx Nb ip 0 Nb ip n11 B ip B ip A ip, n11 apn A ip, n11 for k 2 to m21 do A ip, k A ip, k apn for i 1 to m1 do if i ip then begin ain A i, n11 B i -B ip ain B i for j 1 to m21 do A i, j -ain A ip, j A i, j end for i 1 to m1 do Sx Nb i B i goto 103 105 for k 1 to mCur do Sx k 1 Sx k 1 Gr 2,k a1 0 a2 1. dh a2-a1 r 0.618033 tl a1 r r dh tp a1 r dh j 1 108 if j 1 then tt tl else tt tp 106 for i 1 to mCur do Rg i Zt i tt Sx i 1 -Zt i getFunctional 0 cv abs Fh 1,1 if nFreqs 1 then for k 2 to nFreqs do begin cv1 abs Fh 1,k if cv cv1 then cv cv1 end if j 1 or j 3 then cl cv else cp cv if j 1 then begin j 2 goto 108 end if dh MinDh then goto 107 if cl cp then begin a1 tl dh a2-a1 tl tp tp a1 r dh tt tp cl cp j 4 end else begin a2 tp dh tp-a1 tp tl tl a1 r r dh tt tl cp cl j 3 end goto 106 107 if iterI iterImax AND NOT saveResults nStab, iterI then goto 102 end End. Приложение 2 - Удельная электрическая проводимость материалов Приведем сводку справочных данных согласно 7-9 . Материал min , МСм м max , МСм м Немагнитные стали 0.4 1.8 Бронзы БрБ, Бр2, Бр9 6.8 17 Латуни ЛС59, ЛС62 13.5 17.8 Магниевые сплавы МЛ5-МЛ15 5.8 18.5 Титановые сплавы ОТ4, ВТ3-ВТ16 0.48 2.15 Алюминиевые сплавы В95, Д16, Д19 15.1 26.9 Приложение 4 - Abstact The inverse eddy current problem can be described as the task of reconstructing an unknown distribution of electrical conductivity from eddy-current probe voltage measurements recorded as function of excitation frequency.

Conductivity variation may be a result of surface processing with substances like hydrogen and carbon or surface heating.

Mathematical reasons and supporting software for inverse conductivity profiling were developed by us. Inverse problem was solved for layered plane and cylindrical conductors.

Because the inverse problem is nonlinear, we propose using an iterative algorithm which can be formalized as the minimization of an error functional related to the difference between the probe voltages theoretically predicted by the direct problem solving and the measured probe voltages.

Numerical results were obtained for some models of conductivity distribution.

It was shown that inverse problem can be solved exactly in case of correct measurements.

Good estimation of the true conductivity distribution takes place also for measurement noise about 2 percents but in case of 5 percent error results are worse.