Модели реальных распределений электропроводности. Модель задачи должна описывать некоторую пластину, подвергнутую поверхностной обработке.
Для определенности зададим толщину пластины равной двум сантиметрам. На основе данных из Приложения 2 зададим значения ЭП вблизи нижней и верхней поверхностей соответственно 20 МСм м и 13 МСм м. Для решения обратной задачи необходимо задать априорную информацию о величине ЭП в узлах аппроксимации.
В качестве таковой примем интервал 8,25 МСм м, полученный внесением 25 отклонения от считаемых истинными значений. Это отклонение моделирует неточность априорной информации.
Из-за особенностей реализации алгоритма устойчивость решения сильно зависит от точности задания ЭП в узле, соответствующем нижней поверхности пластины, поэтому ограничение в нем зададим интервалом 19,21 МСм м. В нашем случае все возможные модели распределений ЭП могут быть разделены на два класса.
Распределения относящиеся к первому из них условно назовем глубинными. В них ЭП претерпевает существенные изменения на протяжении всей глубины пластины.
Второй класс образуют распределения, ЭП в которых заметно изменяется лишь в приповерхностном слое глубиной порядка четверти пластины поэтому назовем эти распределения поверхностными.
Критерием отличия восстановленной функции распределения ЭП от модельной будем считать величину относительной погрешности, поскольку сравнение результатов с ее помощью вполне адекватно целям нашей работы.
Следует отметит, что погрешность восстановления для поверхностных распределений ЭП представляет практический интерес в области, примерно ограниченной глубиной порядка четверти пластины, что обусловлено физическим смыслом поверхностной обработки.
Поэтому для случаев поверхностных распределений основное внимание будем уделят именно указанным глубинам.
Для проверки возможности восстановления приповерхностных изменений ЭП рассмотрим две базовые модели поверхностных распределений.
Базовая модель A1. Аппроксимация экспонентой.
Проводимость 2 20 МСм м Проводимость 1 13 МСм м Показатель экспоненты 25, 38, 120, 200 . Базовая модель A2 Аппроксимация гиперболическим тангенсом.
Проводимость 2 20 МСм м Проводимость 1 6 МСм м Коэффициент 1 Коэффициент 0.1, 0.05, 0.02, 0.01 Для проверки возможности восстановления глубинных распределений ЭП рассмотрим две базовые модели глубинных распределений.
Базовая модель B1 Аппроксимация кусочно-линейная. Проводимость задается в узлах с отсчитываемой от дна пластины относительной глубиной 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 . Узловые значения проводимости 20, 20, 17.6, 15.3, 13 , 20, 20, 20, 16.5, 13 , 20,20,20,20,13 МСм м. Базовая модель B2 Аппроксимация сплайном. Проводимость задается в узлах с отсчитываемой от дна пластины относительной глубиной 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 . Узловые значения проводимости 20, 20, 17.6, 15.3, 13 , 20, 20, 20, 16.5, 13 , 20,20,20,20,13 МСм м. Заметим, что на практике можно осуществить достаточно точное определение величины ЭП приповерхностных слоев путем измерений проводимости традиционными средствами, поэтому дополнительно рассмотрим модельные задачи при условии известной ЭП на верхней, а так же верхней и нижней поверхностях.
Поскольку на практике результаты измерений вносимого напряжения имеют определенную погрешность, все модели будем рассчитывать эмулируя погрешность U 0,1,2,5 . Для исследования зависимости результатов восстановления распределений ЭП от частоты возбуждения разобьем частотный диапазона три части следующим образом глубины проникновения приведены для случая постоянной ЭП 13 МСм м Модели FA1L, FB1L Модели FA1M, FB1M Модели FA1H, FB1H f , Гц h, m f , КГц h, m f , КГц h, m 1 0.1396 5 0.001974 55 0.0005952 10 0.04414 10 0.001396 60 0.0005699 20 0.03121 15 0.00114 80 0.0004935 50 0.01974 20 0.000987 90 0.0004653 100 0.01396 25 0.0008828 100 0.0004414 200 0.00987 30 0.0008059 200 0.0003121 500 0.006243 35 0.0007461 300 0.0002549 1000 0.004414 40 0.0006979 500 0.0001974 2000 0.003121 45 0.000658 700 0.0001668 5000 0.001974 54.1 0.0006001 1000 0.0001396 Для исследования зависимости результатов восстановления распределений ЭП от числа измеряемых вносимых напряжений N рассмотрим случаи N 5, 10, 15 . Низкие частоты f , Гц 1, 5, 10, 20, 35, 50, 100, 150, 200, 500, 750, 1000, 2000, 3500, 5000 f , Гц 1, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 f , Гц 1, 20, 100, 500, 2000 Средние частоты f , КГц 5, 7.5, 10, 15,17.5, 20, 25, 27.5, 30, 35, 37.5, 40, 45, 50, 54.1 f , КГц 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 54.1 f , КГц 5, 15, 25, 35, 45 Высокие частоты f , КГц 55, 57.5, 60, 80, 85, 90,100, 150, 200, 300, 400, 500, 700, 850, 1000 f , КГц 55, 60, 80, 90,100, 200, 300, 500, 700, 1000 f , КГц 55, 80, 100, 300, 700 9.3 Принципиальная возможность восстановления Для исследования возможности восстановления распределения ЭП рассмотрим результаты, полученные в предположении наличия точных данных погрешность измерения отсутствует. На графиках в первых четырех пунктах Приложения 3 рассматриваемые зависимости показаны красным цветом исходные данные черным. Исходя из них можно сделать следующие выводы Восстановление с помощью аппроксимации, использованной при эмуляции измерений решении прямой задачи, приводит к погрешности восстановления порядка 0.1 . Восстановление глубинных распределений с помощью аппроксимаций экспоненциальной и гиперболическим тангенсом возможно с хорошей точностью погрешность 2-5 для приповерхностных слоев глубиной порядка четверти пластины.
Восстановление глубинных распределений с помощью аппроксимаций сплайном и кусочно-линейной возможно с хорошей точностью погрешность 2-3 . Погрешность восстановления увеличивается с уменьшением глубины.
Восстановление поверхностных распределений с помощью аппроксимаций сплайном и кусочно-линейной практически невозможно.
Имеют место осцилляции, приводящие к погрешностям, превышающим 10 . Восстановление поверхностных распределений с помощью аппроксимаций экспоненциальной и гиперболическим тангенсом возможно с хорошей точностью погрешность 2-3 . Погрешность восстановления увеличивается с уменьшением глубины, занимаемой распределением. 9.4